Pixar: The math behind the movies - Tony DeRose

翻訳: Akiko Hicks 校正: Tomoyuki Suzuki

At Pixar, we're all about telling stories,

ピクサーで最も大切なのは ストーリーを語ることですが

but one story that hasn't been told very much

あまり語られていないのは

is the huge degree to which math is used

いかに深く数学が

in the production of our films.

映像制作に関わっているかです

The math that you're learning in

皆さんが 中学や高校で学ぶ数学を

middle school and high school

皆さんが 中学や高校で学ぶ数学を

is used all the time at Pixar.

ピクサーでは毎日使っています

So, let's start with a very simple example.

まずは 簡単な例をお見せしましょう

Anybody recognize this guy? (Cheers)

このキャラクターは誰でしょう？（歓声）

Yeah, so this is Woody from Toy Story,

そう 　トイ・ストーリーのウッディです

and let's ask Woody to, say, walk across the stage

ではウッディに皆さんの前を 横切ってもらいましょう

from, say, left to right, just like that.

そう 左から右側に向かって 歩いてもらいます

So, believe it or not, you just saw a ton of mathematics.

実は 今見たものに 沢山の数学が使われているんです

Where is it?

どこでかって？

Well, to explain that,

その説明には まず

it's important to understand

これを理解して下さい

that artists and designers think in terms of

アーティストやデザイナーは

shape and images

形やイメージを使って考えますが

but computers think in terms of numbers and equations.

コンピュータが使うのは 数や数式だという事です

So, to bridge those two worlds

この２つの世界を結びつけるのが

we use a mathematical concept called

数学の一分野である

coordinate geometry, right?

座標幾何学というものです

That is, we lay down a coordinate system

これは 座標軸を設定して

with x describing how far something is to the right

どのくらい右側にあるかをｘで表し

and y describing how high something is.

どのくらい上方にあるかをｙで表すものです

So, with these coordinates we can describe

つまり ｘとｙの座標の値で

where Woody is at any instant in time.

ウディーが今どこにいるかを表せます

For instance, if we know the coordinates of

例えば このイメージの

the lower left corner of that image,

左下角の座標が分かれば

then we know where the rest of the image is.

残り全体のイメージの 位置がわかります

And in that little sliding animation we saw a second ago,

先ほどの ずらす様なアニメーションの動きは

that motion we call translation,

「平行移動」と呼ばれ

the x coordinate started with a value of one,

始点の座標 ｘの値は１で

and it ended with a value of about five.

終点のｘの値は５の近辺でした

So, if we want to write that in mathematics,

これを数学を使って表すと

we see that the x at the end is four bigger

終点のｘの値は始点のｘの値より

than x at the start.

４大きく

So, in other words, the mathematics of translation

つまり平行移動を 数学で表すと

is addition.

足し算になります

Alright?

いいですね？

How about scaling?

では スケーリングは？

That is making something bigger or smaller.

これは サイズの 縮小・拡大です

Any guesses as to what the mathematics of scaling might be?

スケーリングは数学で 何にあたるか分かるかな？

Dilation, multiplication, exactly.

拡張？ 掛け算　その通り

If you're going to make something twice as big,

何かを２倍の大きさにしたければ

you need to mulitply the x and the y coordinates

座標のｘとｙの両方の値に

all by two.

２を掛けるわけです

So, this shows us that the mathematics of scaling

ですから スケーリングを 数学で表すと

is mulitiplication.

掛け算だと分かります

Okay?

いいですね？

How about this one?

これはどうでしょう？

How about rotation? Alright, spinning around.

回転はどうでしょう？ くるっと回すのは？

The mathematics of rotation is trigonometry.

回転を数学で表すと 三角関数になります

So, here's an equation that expresses that.

これを数式で表すと こうなります

It looks a little scary at first.

ちょっと難しそうですが

You'll probably get this in eighth or ninth grade.

中学の２年か３年で習うはずです

If you find yourselves sitting in trigonometry class

三角関数の授業中に

wondering when you're ever going to need this stuff,

こんなの一体 何の役に立つのかと思ったら

just remember that any time you see anything rotate

ピクサーのアニメーションで 何かが回転するたびに

in one of our films,

ピクサーのアニメーションで 何かが回転するたびに

there's trigonometry at work underneath.

三角関数が使われていると 思い出してください

I first fell in love with mathematics in seventh grade.

僕が数学を好きになったのは 中学１年の時でした

Any seventh graders? A few of you? Yeah.

中学１年生はいますか？ 数人いますね

My seventh grade science teacher showed me

中学１年の時の科学の先生が

how to use trigonometry to compute

僕の作っていたロケットの高度を

how high the rockets that I was building was going.

三角関数を使って 計算する方法を教えてくれました

I just thought that was amazing,

これは スゴイと思いました

and I've been enamored with math ever since.

それ以来 数学のとりこになりました

So, this is kind of old mathematics.

これは 古い数学です

Mathematics that's been known and, you know,

長い事 知られている数学で

developed by the old dead Greek guys.

大昔のギリシャ人とかが作ったものです

And there's a myth out there that all the interesting

時々こんな事を耳にします

mathematics has already been figured out,

興味深い数学は 全て出尽くしてしまったとか

in fact all of mathematics has been figured out.

数学は知り尽くされている というものです

But the real story is that new mathematics

でも 実際には 新しい数学も

is being created all the time.

常に生まれているんです

And some of it is being created at Pixar.

ピクサーで生まれたものも いくつかあります

So, I'd like to give you an example of that.

その例を １つお見せしましょう

So, here are some characters

初期の映画のキャラクターを

from some of our early films:

いくつかお見せします

Finding Nemo, Monsters Inc. and Toy Story 2.

『ファインディング・ニモ』『モンスターズ・インク』 『トイ・ストーリー２』です

Anybody know who the blue character in the upper left is?

左上の青いキャラクターは？

It's Dory. Okay, that was easy.

ドリーですね これは簡単です

Here's a little harder one.

もう少し難しく

Anybody know who's the character in the lower right?

この右下のは 知っているかな？

Al McWhiggin from Al's Toy Barn, exactly.

「アルのトイバーン」のアル・マクウィギン その通り

The thing to notice about these characters

これらのキャラクターは

is they're really complicated.

とても複雑です

Those shapes are really complicated.

形がとても複雑なんです

In fact, the toy cleaner, I have an example,

実は あのおもちゃの清掃員ですが

the toy cleaner there in the middle,

真ん中にいる男性ですが

here's his hand.

これが 彼の手のモデルです

You can imagine how fun it was to bring this

ここに持ってくるのに 空港の手荷物検査で

through airport security.

いろいろ質問されました

His hand is a really complicated shape.

この手はとても複雑な形です

It's not just a bunch of spheres and cylinders stuck together, right?

球体や筒を くっ付けた だけではありません

And not only is it complicated,

それに 複雑な形であるだけでなく

but it has to move in complicated ways.

複雑な動きもしなくてはなりません

So, I'd like to tell you how we do that,

これをどう実現するのかですが

and to do that I need to tell you about midpoints.

まず 中点というものを 説明しましょう

So, here's a couple of points, A and B,

点A と点B があって

and the line segment between them.

これを結ぶ線分があります

We're going to start out first in two dimensions.

まずは ２次元で見てみましょう

The midpoint, M, is the point

ここで 中点 M は

that splits that line segment in the middle, right?

先ほどの線分を真ん中で分ける点です

So, that's the geometry.

このような位置関係です

To make equations and numbers,

数式と数字で表すために

we again introduce a coordinate system,

ここで 先ほどの座標を使います

and if we know the coordinates of A and B,

A と B の座標がわかれば

we can easily compute the coordinates of M

M の座標も簡単に計算できます

just by averaging.

AB の座標の平均です

You now know enough to work at Pixar.

これが分かれば ピクサーで働けますね

Let me show you.

さあ ここで

So, I'm going to do something slightly terrifying

もう少し高等なものをお見せしましょう

and move to a live demo here.

実際にやってみましょう

So, what I have is a four-point polygon here,

これは ４つ角のある 多角形ですが

and it's going to be my job

これを滑らかな

to make a smooth curve out of this thing.

曲線に変えてみましょう

And I'm going to do it just using the idea of midpoints.

中点の概念のみを使ってやってみます

So, the first thing I'm going to do

まず 最初にするのが

is an operation I'll call split,

「分割」の操作です

which adds midpoints to all those edges.

それぞれの辺に中点を追加します

So, I went from four points to eight points,

図形上の４つの点が８つに増えました

but it's no smoother.

でも まだ滑らかではありません

I'm going to make it a little bit smoother

これを少し滑らかにするために

by moving all of these points from where they are now

これらの全ての点を 今ある位置から

to the midpoint of their clockwise neighbor.

右回り方向に隣接する点との 中点に移します

So, let me animate that for you.

これをアニメーションでお見せしましょう

I'm going to call that the averaging step.

このステップを「平均」と呼びましょう

So, now I've got eight points,

点の数は８と変わりませんが

they're a little bit smoother,

いくらか 滑らかです

my job is to make a smooth curve,

ここで さらに滑らかの曲線にするには

so what do I do?

どうしたら良いでしょう？

Do it again. Split and average.

繰り返しです 「分割」と「平均」です

So, now I've got sixteen points.

点は16に増えました

I'm going to put those two steps,

この２つのステップの

split and average, together into something

「分割」と「平均」をまとめて

I'll call subdivide,

「細分割」と呼びましょう

which just means split and then average.

分割して平均する組み合わせです

So, now I've got 32 points.

点は32になりました

If that's not smooth enough, I'll do more.

もっと やりましょうか

I'll get 64 points.

点を64に増やしましょう

Do you see a smooth curve appearing here from

なめらかな曲線が

those original points?

見えてきましたか？

And that's how we create the shapes

こうやって キャラクターの

of our charcters.

形を作っていくわけです

But remember, I said a moment ago

でも 先ほど言いましたが

it's not enough just to know the static shape,

動かせない 形の決まったものでは

the fixed shape.

物足りません

We need to animate it.

これを動かさなくてはいけません

And to animate these curves,

このような曲線を動かすには

the cool thing about subdivision.

「細分割」が力を発揮するんです

Did you see the aliens in Toy Story?

トイ・ストーリーに出てくる エイリアンですが

You know that sound they make,

あの声みたいに

"Ooh"? Ready?

「ウ～」って 準備いいですか？

So, the way we animate these curves

このような曲線を動かすには

is simply by animating the original four points.

最初の４つの点を 動かすだけでいいんです

"Ooh."

「ウ～」

Alright, I think that's pretty cool,

すごいですね

and if you don't, the door is there,

そう 思わない方 出口はあちらです

it doesn't get any better than that, so.

これ以上すごいものは 今日はお見せしませんので...

This idea of splitting and averaging

この「分割」と「平均」の概念は

also holds for surfaces.

面にも使えるんです

So, I'll split, and I'll average.

分割して平均し

I'll split, and I'll average.

分割して平均します

Put those together into subdivide,

これを細分割として行ない

and this how we actually create the shapes

この方法を使って

of all of our surface characters in three dimensions.

ピクサーでは全ての面を ３Dで作っています

So, this idea of subdivision

「細分割」のアイデアが

was first used in a short film in 1997

初めて使われたのは 1997年のショート・フィルム

called Geri's Game.

『ゲーリーじいさんのチェス』でした

And Geri actually made a cameo apperance

このゲーリーが おもちゃの清掃員として

in Toy Story 2 as the toy cleaner.

トイ・ストーリーにカメオ出演しています

Each of his hands

彼の手が 細分割の元祖なんです

was the first time we ever used subdivision.

彼の手が 細分割の元祖なんです

So, each hand was a subdivision surface,

手は細分割曲面ですが

his face was a subdivision surface,

彼の顔も細分割曲面で

so was his jacket.

上着もそうでした

Here's Geri's hand before subdivision,

これが細分割前のゲーリーの手

and here's Geri's hand after subdivision,

これが 細分割後の手です

so subdivision just goes in and smooths out

細分割はたくさんの面からなる

all those facets,

曲面を滑らかにし

and creates the beautiful surfaces

皆さんが完成した映画で見るような

that you see on the screen and in the theaters.

美しい曲面をつくります

Since that time, we've built all of our characters this way.

以来 様々なキャラクターは 全てこの方法で作られています

So, here's Merida, the lead character from Brave.

これは 『メリダとおそろしの森』の主役 メリダです

Her dress was a subdivision surface,

彼女のドレスは 細分割曲面で

her hands, her face.

手も顔もそうなんです

The faces and hands of all the clansman

後ろの一族全ての 顔も手も

were subdivision surfaces.

細分割曲面が使われています

Today we've seen how addition, multiplication,

今日は足し算や掛け算

trigonometry and geometry play a roll in our films.

三角関数や幾何が ピクサーの映画に重要だとわかりました

Given a little more time,

もっと時間があれば

I could show you how linear algebra,

線形代数や

differential calculus, integral calculus

微分・積分なども大切だと

also play a roll.

お見せできます

The main thing I want you to go away with today is

今日お伝えしたかったのは

to just remember that all the math that you're learning

学校で習う数学

in high school and actually up through sophomore college

高校から 大学の２年まで程度のものが

we use all the time, everyday, at Pixar. Thanks.

ピクサーで毎日使われているということです ありがとうございました