Pixar: The math behind the movies - Tony DeRose

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Tal Dekkers

At Pixar, we're all about telling stories,

בפיקסאר, אנחנו מספרים סיפורים,

but one story that hasn't been told very much

אבל סיפור אחד שלא סופר הרבה

is the huge degree to which math is used

הוא הדרגה הגבוהה בה מתמטיקה משמשת

in the production of our films.

בהפקה של הסרטים שלנו.

The math that you're learning in

המתמטיקה שאתם לומדים

middle school and high school

בחטיבת הביניים ובתיכון

is used all the time at Pixar.

נמצאת בשימוש בפיקסאר כל הזמן.

So, let's start with a very simple example.

אז, בואו נתחיל עם דוגמה מאוד פשוטה.

Anybody recognize this guy? (Cheers)

מישהו מכיר את הבחור הזה? (תרועות)

Yeah, so this is Woody from Toy Story,

כן, אז זה וודי מצעצוע של סיפור,

and let's ask Woody to, say, walk across the stage

ובואו נבקש מוודי, נגיד, ללכת לרוחב הבמה

from, say, left to right, just like that.

נגיד, משמאל לימין, בדיוק ככה.

So, believe it or not, you just saw a ton of mathematics.

אז, תאמינו או לא, בדיוק ראיתם טונה של מתמטיקה.

Where is it?

איפה היא?

Well, to explain that,

ובכן, כדי להסביר את זה,

it's important to understand

זה חשוב להבין

that artists and designers think in terms of

שאומנים ומעצבים חושבים במונחים

shape and images

של צורות ותמונות

but computers think in terms of numbers and equations.

אבל מחשבים חושבים במונחים של מספרים ומשוואות.

So, to bridge those two worlds

אז, כדי לגשר את שני העולמות האלה

we use a mathematical concept called

אנחנו משתמשים בקונספט מתמטי שנקרא

coordinate geometry, right?

גאומטריה מתואמת, בסדר?

That is, we lay down a coordinate system

זה אומר, אנחנו מניחים מערכת קואורדינטות

with x describing how far something is to the right

כש X מתאר כמה רחוק משהו מימין

and y describing how high something is.

ו Y מתאר כמה משהו גבוה.

So, with these coordinates we can describe

אז, עם הקואורדינטות האלה אנחנו יכולים לתאר

where Woody is at any instant in time.

איפה וודי נמצא בכל נקודה בזמן.

For instance, if we know the coordinates of

לדוגמה, אם אנחנו יודעים את הקואורדינטות של

the lower left corner of that image,

הפינה התחתונה השמאלית של התמונה,

then we know where the rest of the image is.

אז אנחנו יודעים איפה שאר התמונה נמצאת.

And in that little sliding animation we saw a second ago,

ובאנימציה הנעה הקטנה הזו שראינו לפני שניה,

that motion we call translation,

התנועה שראינו נקראת מעבר,

the x coordinate started with a value of one,

קואורדינטת ה X התחילה עם ערך של אחד,

and it ended with a value of about five.

והיא מסתיימת עם ערך של בערך חמש.

So, if we want to write that in mathematics,

אז, אם אנחנו רוצים לכתוב את זה במתמטיקה,

we see that the x at the end is four bigger

אנחנו רואים שה X בסוף גדול בארבע

than x at the start.

מה X בהתחלה.

So, in other words, the mathematics of translation

אז, במילים אחרות, המתמטיקה של מעבר

is addition.

היא הוספה.

Alright?

בסדר?

How about scaling?

מה עם שינוי גודל?

That is making something bigger or smaller.

זה להפוך משהו לגדול או קטן יותר.

Any guesses as to what the mathematics of scaling might be?

יש ניחוש איזה סוג של מתמטיקה יש בשינוי גודל?

Dilation, multiplication, exactly.

חילוק, כפל, בדיוק.

If you're going to make something twice as big,

אם תעשו משהו גדול פי שתיים,

you need to mulitply the x and the y coordinates

אתם תכפילו את קואורדינטות ה X וה Y

all by two.

פי שתיים.

So, this shows us that the mathematics of scaling

אז, זה מראה לנו שהמתמטיקה של שינוי גודל

is mulitiplication.

היא הכפלה.

Okay?

אוקיי?

How about this one?

מה עם זה?

How about rotation? Alright, spinning around.

מה עם סיבוב? בסדר, סיבוב סביב נקודה.

The mathematics of rotation is trigonometry.

המתמטיקה של סיבוב היא טריגונומטריה.

So, here's an equation that expresses that.

אז, הנה משוואה שמבטאת את זה.

It looks a little scary at first.

היא נראית קצת מפחידה בהתחלה.

You'll probably get this in eighth or ninth grade.

אתם כנראה תבינו את זה בכיתה ח' או ט'.

If you find yourselves sitting in trigonometry class

אם אתם מוצאים את עצמכם יושבים בשיעורי טריגונומטריה

wondering when you're ever going to need this stuff,

תוהים מתי אי פעם תצטרכו את זה,

just remember that any time you see anything rotate

פשוט תזכרו שכל פעם שאתם רואים משהו מסתובב

in one of our films,

באחד הסרטים האלה,

there's trigonometry at work underneath.

הטריגונומטריה עובדת מתחת.

I first fell in love with mathematics in seventh grade.

התאהבתי לראשונה במתמטיקה בכיתה ז'.

Any seventh graders? A few of you? Yeah.

מישהו בכיתה ז'? מישהו מכם? כן.

My seventh grade science teacher showed me

המורה למדעים של בכיתה ז' הראה לי

how to use trigonometry to compute

איך להשתמש בטריגונומטריה כדי לחשב

how high the rockets that I was building was going.

כמה גבוה טיל שבניתי יעלה.

I just thought that was amazing,

פשוט חשבתי שזה מדהים,

and I've been enamored with math ever since.

והוקסמתי ממתמטיקה מאז.

So, this is kind of old mathematics.

אז, זה סוג של מתמטיקה ישנה.

Mathematics that's been known and, you know,

מתמטיקה שהיתה ידועה, ואתם יודעים,

developed by the old dead Greek guys.

פותחה על ידי בחורים יוונים מתים.

And there's a myth out there that all the interesting

ויש מיתוס שם בחוץ שכל המתמטיקה המעניינת

mathematics has already been figured out,

כבר הובנה,

in fact all of mathematics has been figured out.

למעשה כל המתמטיקה הובנה.

But the real story is that new mathematics

אבל הסיפור האמיתי הוא שמתמטיקה חדשה

is being created all the time.

נוצרת כל הזמן.

And some of it is being created at Pixar.

וחלק ממנה נוצר בפיקסאר.

So, I'd like to give you an example of that.

אז, הייתי רוצה לתת לכם דוגמה לזה.

So, here are some characters

אז, הנה כמה דמויות

from some of our early films:

מכמה מהסרטים הראשונים שלנו:

Finding Nemo, Monsters Inc. and Toy Story 2.

למצוא את נימו, מפלצות בע"מ וצעצוע של סיפור 2.

Anybody know who the blue character in the upper left is?

מישהו יודע מי הדמות למעלה משמאל?

It's Dory. Okay, that was easy.

זו דורי. אוקיי, זה היה קל.

Here's a little harder one.

הנה אחת יותר קשה.

Anybody know who's the character in the lower right?

מישהו יודע מי הדמות למטה מימין?

Al McWhiggin from Al's Toy Barn, exactly.

אל מקוויגין במחסן הצעצועים של אל, בדיוק.

The thing to notice about these characters

הדבר לשים לב אליו בנוגע לדמויות

is they're really complicated.

זה שהן באמת מורכבות.

Those shapes are really complicated.

הצורות האלו באמת מורכבות.

In fact, the toy cleaner, I have an example,

למעשה, מנקה הצעצועים, יש לי דוגמה,

the toy cleaner there in the middle,

מנקה הצעצועים שם במרכז,

here's his hand.

הנה היד שלו.

You can imagine how fun it was to bring this

אתם יכולים לדמיין כמה כיף היה להעביר את זה

through airport security.

דרך האבטחה בשדה התעופה.

His hand is a really complicated shape.

היד שלו היא צורה ממש מורכבת.

It's not just a bunch of spheres and cylinders stuck together, right?

זה לא רק אוסף של כדורים וצילנדרים שמחוברים יחד, בסדר?

And not only is it complicated,

ולא רק שהיא מסובכת,

but it has to move in complicated ways.

היא צריכה לנוע בצורות מסובכות.

So, I'd like to tell you how we do that,

אז, הייתי רוצה לספר לכם איך עשינו את זה.

and to do that I need to tell you about midpoints.

וכדי לעשות את זה אני צריך לספר לכם על נקודות אמצע.

So, here's a couple of points, A and B,

אז, הנה כמה נקודות, A ו B,

and the line segment between them.

והקטע ביניהן.

We're going to start out first in two dimensions.

אנחנו נתחיל ראשית בשני מימדים.

The midpoint, M, is the point

נקודת האמצע, M, היא הנקודה

that splits that line segment in the middle, right?

שמחלקת את הקו הזה במרכז, בסדר?

So, that's the geometry.

אז, זו הגאומטריה.

To make equations and numbers,

כדי ליצור משוואות ומספרים,

we again introduce a coordinate system,

אנחנו שוב מציגים מערכת קואורדינטות,

and if we know the coordinates of A and B,

ואם אנחנו יודעים את הקואורדינטות של A ו B,

we can easily compute the coordinates of M

אנחנו יכולים בקלות לחשב את הקואורדינטות של M

just by averaging.

פשוט על ידי ממוצע.

You now know enough to work at Pixar.

אתם יודעים עכשיו מספיק כדי לעבוד בפיקסאר.

Let me show you.

תנו לי להראות לכם.

So, I'm going to do something slightly terrifying

אז, אני אעשה משהו מעט מפחיד

and move to a live demo here.

ואעבור פה לדמו חי.

So, what I have is a four-point polygon here,

אז, מה שיש לי פה זה פוליגון של ארבע נקודות,

and it's going to be my job

וזו תהיה העבודה שלי

to make a smooth curve out of this thing.

ליצור עקומה חלקה מהדבר הזה.

And I'm going to do it just using the idea of midpoints.

ואני עומד לעשות את זה רק על ידי שימוש בנקודות אמצע.

So, the first thing I'm going to do

אז, הדבר הראשון שאני אעשה

is an operation I'll call split,

זה פעולה שאני קורא לה פיצול,

which adds midpoints to all those edges.

שמוסיף נקודות אמצע לקצוות האלה.

So, I went from four points to eight points,

אז, עברתי מארבע נקודות לשמונה,

but it's no smoother.

אבל זה לא חלק יותר.

I'm going to make it a little bit smoother

אני עומד לעשות את זה מעט יותר חלק

by moving all of these points from where they are now

על ידי הזזת הנקודות מהמקום שהן עכשיו

to the midpoint of their clockwise neighbor.

לנקודת המרכז של השכן הכי קרוב עם כיוון השעון.

So, let me animate that for you.

אז, תנו לי להנפיש את זה בשבילכם.

I'm going to call that the averaging step.

אני אקרא לזה צעד המיצוע.

So, now I've got eight points,

אז, עכשיו יש לי שמונה נקודות,

they're a little bit smoother,

והן מעט יותר חלקות,

my job is to make a smooth curve,

העבודה שלי היא ליצור עקומה חלקה,

so what do I do?

אז מה אני אעשה?

Do it again. Split and average.

לעשות את זה שוב. לחלק את הממוצע.

So, now I've got sixteen points.

אז, עכשיו יש לי שש עשרה נקודות.

I'm going to put those two steps,

אני אשים את שני הצעדים האלה,

split and average, together into something

אפצל את הממצוע, יחד למשהו

I'll call subdivide,

שאני אקרא לו חלוקה משנית,

which just means split and then average.

שמשמעה פשוט פיצול ואז מיצוע.

So, now I've got 32 points.

אז, עכשיו יש לי 32 נקודות.

If that's not smooth enough, I'll do more.

אם זה לא מספיק, אני אעשה עוד.

I'll get 64 points.

אני אקבל 64 נקודות.

Do you see a smooth curve appearing here from

האם אתם רואים עקומה חלקה מופיעה

those original points?

מהנקודות המקוריות האלו?

And that's how we create the shapes

וכך אנחנו יוצרים את הצורות

of our charcters.

מהדמויות שלנו.

But remember, I said a moment ago

אבל זכרו, אמרתי לפני רגע

it's not enough just to know the static shape,

זה לא מספיק רק לדעות את הצורה הסטטית,

the fixed shape.

הצורה הקבועה.

We need to animate it.

אנחנו צריכים להנפיש את זה.

And to animate these curves,

וכדי להנפיש את העקומות,

the cool thing about subdivision.

הדבר המגניב בחלוקה משנית.

Did you see the aliens in Toy Story?

האם ראיתם את החייזרים בצעצוע של סיפור?

You know that sound they make,

אתם יודעים את הצליל שהם עושים?

"Ooh"? Ready?

"אוהה"? מוכנים?

So, the way we animate these curves

אז, הדרך בה אנחנו מנפישים את העקומות האלה

is simply by animating the original four points.

היא פשוט על ידי הנפשת ארבע הנקודות המקוריות.

"Ooh."

"אוהה."

Alright, I think that's pretty cool,

בסדר, אני חושב שזה די מגניב,

and if you don't, the door is there,

ואם אתם לא, הדלת שם,

it doesn't get any better than that, so.

זה לא נעשה יותר טוב מזה, אז.

This idea of splitting and averaging

הרעיון של פיצול ומיצוע

also holds for surfaces.

מחזיק גם למשטחים.

So, I'll split, and I'll average.

אז, אני אפצל, ואני אמצע.

I'll split, and I'll average.

אני אפצל, אני אמצע.

Put those together into subdivide,

חברו את אלה לחלוקה משנית,

and this how we actually create the shapes

וכך אנחנו יוצרים למעשה את הצורות

of all of our surface characters in three dimensions.

כל דמויות המשטח שלנו בשלושה מימדים.

So, this idea of subdivision

אז, הרעיון הזה של חלוקה משנית

was first used in a short film in 1997

היה בשימוש לראשונה בסרט קצר ב 1997

called Geri's Game.

שנקרא המשחק של גרי.

And Geri actually made a cameo apperance

וגרי למעשה עשה הופעה זכורה

in Toy Story 2 as the toy cleaner.

בצעצוע של סיפור כמנקה הצעצועים.

Each of his hands

כל אחת מידיו

was the first time we ever used subdivision.

היתה הפעם הראשונה אי פעם שהשתמשנו בחלוקה משנית.

So, each hand was a subdivision surface,

אז, כל יד היתה משטח חלוקה משנית,

his face was a subdivision surface,

הפנים שלו היו משטח של חלוקה משנית,

so was his jacket.

כך גם הג'קט שלו.

Here's Geri's hand before subdivision,

הנה היד של גרי לפני חלוקה משנית,

and here's Geri's hand after subdivision,

והנה היד של גרי אחרי חלוקה משנית,

so subdivision just goes in and smooths out

אז חלוקה משנית פשוט נכנסת ומחליקה

all those facets,

את כל הפנים האלה,

and creates the beautiful surfaces

ויוצרת משטחים יפיפיים

that you see on the screen and in the theaters.

שאתם רואים על המסך ובקולנוע.

Since that time, we've built all of our characters this way.

מאז, בנינו את כל הדמויות שלנו בדרך זו.

So, here's Merida, the lead character from Brave.

אז, הנה מרידה, הדמות המובילה באמיצה.

Her dress was a subdivision surface,

השמלה שלה היא משטח חלוקה משנית,

her hands, her face.

הידיים שלה, הפנים שלה.

The faces and hands of all the clansman

הפנים והידיים של כל אנשי השבט

were subdivision surfaces.

היו משטחי חלוקה מחדש.

Today we've seen how addition, multiplication,

היום ראינו איך חיבור, כפל,

trigonometry and geometry play a roll in our films.

טריגונומטריה וגאומטריה לוקחים תפקיד בסרטים שלנו.

Given a little more time,

בהנתן מעט יותר זמן,

I could show you how linear algebra,

אני אוכל להאות לכם איך אלגברה לינארית,

differential calculus, integral calculus

חשבון דיפרנציאלי, חשבון אינטגרלי

also play a roll.

גם הם משחקים תפקיד.

The main thing I want you to go away with today is

העניין העיקרי שאני רוצה שתלכו איתו היום הוא

to just remember that all the math that you're learning

פשוט לזכור שבכל המתמטיקה שאתם לומדים

in high school and actually up through sophomore college

בבית הספר התיכון ולמעשה עד לשנה הראשונה במכללה

we use all the time, everyday, at Pixar. Thanks.

אנחנו משתמשיים כל הזמן, כל יום, בפיקסאר. תודה.