Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky

חידת אקסיומת המקבילים של אאוקלידס - ג'ף דקופסקי

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

תרגום: Shlomo Adam עריכה: Sigal Tifferet

כפי שיודע כל תלמיד גיאומטריה בעבר ובהווה,

As any current or past geometry student knows,

the father of geometry was Euclid,

אבי הגיאומטריה היה אאוקלידס,

a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E.

מתמטיקאי יווני שחי באלכסנדריה שבמצרים

בערך בשנת 300 לפני הספירה.

אאוקלידס נודע כמחברה

Euclid is known as the author of a singularly influential work

של עבודה יחידה במינה ורבת-השפעה בשם "יסודות".

known as "Elements."

חשבתם שספר המתמטיקה שלכם גדול?

You think your math book is long?

Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry.

"יסודות" של אאוקלידס כוללת 13 כרכים ויש בה אך ורק גיאומטריה.

In "Elements," Euclid structured and supplemented the work

ב"יסודות", אאוקלידס ארגן והשלים

את עבודתם של מתמטיקאים רבים שפעלו לפניו,

of many mathematicians that came before him,

כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.

such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others.

כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.

כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.

כמו פיתגורס, אאדוקסוס, היפוקרטס ואחרים.

Euclid laid it all out as a logical system of proof

אאוקלידס ארגן את הכל כמערכת לוגית של הוכחות

שהוקמה על יסוד מערך של הגדרות, רעיונות מקובלים,

built up from a set of definitions,

שהוקמה על יסוד מערך של הגדרות, רעיונות מקובלים,

common notions, and his five famous postulates.

וגם חמשת האקסיומות המפורסמות שלו.

Four of these postulates are very simple and straightforward,

ארבע מאקסיומות אלה הן פשוטות וברורות,

לדוגמה, בין שתי נקודות עובר קו ישר.

two points determine a line, for example.

The fifth one, however, is the seed that grows our story.

ההנחה החמישית, לעומת זאת, היא הזרע ממנו צומח סיפורנו.

האקסיומה החמישית המסתורית ידועה

This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate.

בשם הפשוט "אקסיומת המקבילים".

שלא כמו ארבע הראשונות,

You see, unlike the first four,

the fifth postulate is worded in a very convoluted way.

האקסיומה החמישית מנוסחת באופן מורכב ביותר.

Euclid's version states that,

גירסתו של אאוקלידס קובעת:

"If a line falls on two other lines

"אם קו חותך שני קווים אחרים

so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal

באופן שסכום הזוויות הפנימיות

שייווצרו באחד הצדדים של הקו החוצה

add up to less than two right angles,

קטן מסכום שתי זוויות ישרות,

אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד, הם ייפגשו,

then the lines eventually intersect on that side,

and therefore are not parallel."

ולכן אינם מקבילים."

Wow, that is a mouthful!

חתיכת ניסוח!

Here's the simpler, more familiar version:

הנה הגירסה הפשוטה והמוכרת יותר:

"In a plane, through any point not on a given line,

"במישור, דרך כל נקודה שאינה נמצאת על קו נתון,

יכול לעבור רק קו אחד שיקביל לקו המקורי."

only one new line can be drawn that's parallel to the original one."

יכול לעבור רק קו אחד שיקביל לקו המקורי."

Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate

במהלך מאות שנים, מתמטיקאים רבים

ניסו להוכיח את אקסיומת המקבילים על סמך יתר הארבע,

from the other four, but weren't able to do so.

אך לא הצליחו.

ואגב כך הם החלו לחפש

In the process, they began looking at what would happen logically

מה יקרה מבחינה הגיונית

אם אקסיומת המקבילים בעצם איננה נכונה.

if the fifth postulate were actually not true.

אחדים מגדולי המוחות

Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question,

בדברי-ימי המתמטיקה העלו שאלה זו,

דמויות כמו איבן אל-היית'ם,

people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam,

עומר כיאם,

Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri,

נאסיר אל-דין אל-טוסי,

ג'ובאני סאצ'רי

יאנוש בוייאי,

János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky.

קארל גאוס

וניקולאי לובצ'בסקי.

They all experimented with negating the parallel postulate,

כולם ערכו ניסויים שנועדו לערער את אקסיומת המקבילים,

אך בסופו של דבר הם גילו שיצרו

only to discover that this gave rise to entire alternative geometries.

המון סוגי גיאומטריה חלופיים.

גיאומטריות אלה נודעו בשם הקיבוצי

These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries.

"גיאומטריות לא-אאוקלידיות".

We'll leave the details of these different geometries for another lesson.

נשאיר את הפרטים

הנוגעים לגיאומטריות שונות אלה לשיעור נפרד.

ההבדל העיקרי נעוץ בעקמומיותו

The main difference depends on the curvature of the surface

של המישור עליו מותחים את הקווים.

upon which the lines are constructed.

מסתבר שאאוקלידס לא גילה לנו

Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements,"

ב"יסודות" את הכל.

הוא רק תיאר דרך אפשרית אחת

and merely described one possible way to look at the universe.

להתבוננות ביקום.

הכל תלוי בהקשר של הדבר בו מתבוננים.

It all depends on the context of what you're looking at.

מישורים שטוחים מתנהגים באופן מסוים,

Flat surfaces behave one way,

ואילו מישורים בעלי עיקום חיובי או שלילי

while positively and negatively curved surfaces

מפגינים תכונות שונות ביותר.

display very different characteristics.

בהתחלה, גיאומטריות חלופיות אלה נראו מעט משונות

At first these alternative geometries seemed strange,

אך במהרה נתגלה שהן מסוגלות במידה שווה

but were soon found to be equally adept at describing the world around us.

לתאר את העולם סביבנו.

Navigating our planet requires elliptical geometry

הניווט בכוכב הלכת שלנו מחייב גיאומטריה אליפטית

while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry.

ואילו עיקר יצירתו האמנותית של מ"ק אשר

מפגינה גיאומטריה היפרבולית.

Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well

אלברט איינשטיין השתמש גם הוא בגיאומטריה לא-אאקולידית

to describe how space-time becomes warped in the presence of matter,

לתיאור האופן בו המרחב-זמן

הופך לעבודה בנוכחותו של חומר

כחלק מ"תיאוריית היחסות הכללית" שלו.

as part of his general theory of relativity.

The big mystery is whether Euclid had any inkling

התעלומה הגדולה כאן היא האם לאאוקלידס

היה שמץ של מושג אודות קיומן של גיומטריות חלופיות אלה

of the existence of these different geometries

כשכתב את האקסיומה המסתורית שלו.

when he wrote his postulate.

We may never know,

ייתכן שלעולם לא נדע את התשובה לשאלה זו,

but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature,

אבל קשה להאמין

שלא היה לו שום מושג בנוגע לטיבן,

לאור חוכמתו הרבה

being the great intellect that he was

והבנתו המופלגת בתחום הגאומטריה.

and understanding the field as thoroughly as he did.

אולי הוא ידע

Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way

וכתב את אקסיומת המקבילים בכוונה באופן

שיגרום למוחות הסקרניים שיבואו אחריו

as to leave curious minds after him to flush out the details.

למצות ממנה את הפרטים הקטנים.

If so, he's probably pleased.

אם כן, הוא ודאי מרוצה מאד.

These discoveries could never have been made

גילויים אלה מעולם לא היו מתאפשרים

without gifted, progressive thinkers

ללא הוגים מוכשרים ונאורים

able to suspend their preconceived notions

שהצליחו להשעות את דעותיהם המוקדמות

ולחשוב מחוץ למסגרת של מה שלימדו אותם.

and think outside of what they've been taught.

We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions

גם אנו צריכים לפעמים להיות מוכנים

להניח בצד את דעותינו המוקדמות ואת חוויותינו המוחשיות

and physical experiences

ולראות את התמונה השלמה,

and look at the larger picture,

or we risk not seeing the rest of the story.

אחרת אנו מסתכנים בכך שלא נראה את כל האמת.