Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Isabel Vaz Belchior

As any current or past geometry student knows,

Como qualquer aluno atual ou antigo sabe,

the father of geometry was Euclid,

o pai da geometria foi Euclides,

a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E.

um matemático grego que viveu em Alexandria, Egito,

por volta de 300 a.C.

Euclid is known as the author of a singularly influential work

Euclides é o autor duma obra especialmente influente

conhecida por "Elementos".

known as "Elements."

You think your math book is long?

O vosso livro de matemática é grande?

Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry.

Os "Elementos" de Euclides são 13 volumes só de geometria.

In "Elements," Euclid structured and supplemented the work

Em "Elementos", Euclides estruturou e completou

a obra de muitos matemáticos anteriores a ele,

of many mathematicians that came before him,

such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others.

como Pitágoras, Eudóxio, Hipócrates e outros.

Euclid laid it all out as a logical system of proof

Euclides estabeleceu tudo num sistema lógico

construído a partir dum conjunto de definições, noções comuns,

built up from a set of definitions,

common notions, and his five famous postulates.

e dos seus cinco famosos postulados.

Four of these postulates are very simple and straightforward,

Quatro desses postulados são simples e diretos,

por exemplo, "dois pontos determinam uma reta".

two points determine a line, for example.

The fifth one, however, is the seed that grows our story.

Mas o quinto é a semente que germina na nossa história.

Este quinto postulado misterioso é conhecido apenas

This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate.

por "Postulado das Paralelas".

You see, unlike the first four,

Ao contrário dos outros quatro,

the fifth postulate is worded in a very convoluted way.

o quinto postulado está redigido de forma muito complicada.

Euclid's version states that,

A versão de Euclides afirma:

"If a line falls on two other lines

"Se uma reta cai sobre duas outras retas

so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal

"e a medida dos dois ângulos internos

"do mesmo lado da reta transversal

add up to less than two right angles,

"somam menos do que dois ângulos retos,

then the lines eventually intersect on that side,

"então as retas irão convergir desse lado

and therefore are not parallel."

"e, portanto, não são paralelas".

Wow, that is a mouthful!

Uau! que frase comprida!

Here's the simpler, more familiar version:

A versão mais simples é esta:

"In a plane, through any point not on a given line,

"Num plano, num ponto que não está numa dada reta,

"só é possível traçar outra reta

only one new line can be drawn that's parallel to the original one."

"que seja paralela à inicial".

Muitos matemáticos, ao longo dos séculos,

Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate

tentaram provar o postulado das paralelas

from the other four, but weren't able to do so.

mas não conseguiram fazê-lo.

Assim, começaram a pensar

In the process, they began looking at what would happen logically

no que aconteceria logicamente

se o quinto postulado afinal não fosse verdadeiro.

if the fifth postulate were actually not true.

Muitos grandes matemáticos fizeram essa pergunta:

Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question,

pessoas como Ibn al-Haytham,

people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam,

Omar Khayyām, Nasir al-Din al-Tusi,

Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri,

Giovanni Saccheri, János Bolyai,

János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky.

Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky.

They all experimented with negating the parallel postulate,

Todos experimentaram negar o Postulado das Paralelas,

concluindo que isso dava origem

only to discover that this gave rise to entire alternative geometries.

a geometrias totalmente alternativas.

These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries.

Essas geometrias ficaram conhecidas

por Geometrias Não Euclidianas.

We'll leave the details of these different geometries for another lesson.

Vamos deixar os pormenores dessas geometrias para outra lição.

The main difference depends on the curvature of the surface

A principal diferença depende da curvatura

da superfície sobre a qual são traçadas as retas.

upon which the lines are constructed.

Mas Euclides não nos contou a história toda em "Elementos",

Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements,"

apenas descreveu uma forma possível de olhar para o universo.

and merely described one possible way to look at the universe.

Tudo depende do contexto do que se procura.

It all depends on the context of what you're looking at.

As superfícies planas comportam-se de uma forma,

Flat surfaces behave one way,

enquanto as superfícies curvas, positivas e negativas,

while positively and negatively curved surfaces

display very different characteristics.

apresentam características diferentes.

At first these alternative geometries seemed strange,

As geometrias alternativas pareceram estranhas

mas descobriu-se que também eram adequadas

but were soon found to be equally adept at describing the world around us.

para descrever o mundo à nossa volta.

Navigating our planet requires elliptical geometry

A navegação no planeta exige a geometria elíptica

while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry.

enquanto a arte de M.C. Escher

apresenta uma geometria hiperbólica.

Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well

Einstein usou a geometria não euclidiana

to describe how space-time becomes warped in the presence of matter,

para descrever o modo como o espaço-tempo

atua na presença da matéria

as part of his general theory of relativity.

na sua Teoria Geral da Relatividade.

The big mystery is whether Euclid had any inkling

O grande mistério é se Euclides suspeitava ou não

da existência destas geometrias diferentes

of the existence of these different geometries

quando redigiu o seu postulado misterioso.

when he wrote his postulate.

We may never know,

Podemos nunca vir a saber a resposta,

but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature,

mas é difícil crer que ele não tinha ideia dessa natureza,

being the great intellect that he was

sendo o intelectual que era

e sabendo tanto do assunto.

and understanding the field as thoroughly as he did.

Talvez ele soubesse

Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way

e escrevesse o Postulado das Paralelas

para deixar que espíritos curiosos

as to leave curious minds after him to flush out the details.

tirassem a limpo esses pormenores.

If so, he's probably pleased.

Se assim foi, está contente.

These discoveries could never have been made

Isso teria sido impossível

without gifted, progressive thinkers

sem pensadores dotados e progressistas

able to suspend their preconceived notions

capazes de pôr de lado os seus preconceitos

and think outside of what they've been taught.

e de ir para além do que lhes tinham ensinado.

We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions

Também nós devemos pôr de lado

as nossas noções preconcebidas

e as experiências físicas

and physical experiences

e olhar para um quadro mais geral

and look at the larger picture,

or we risk not seeing the rest of the story.

senão arriscamo-nos a não ver o resto da história.