Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky

L'axiome déroutant d'Euclide - Jeff Dekofsky

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Traducteur: Romain CHION Relecteur: Elisabeth Buffard

Comme n'importe quel élève qui étudie ou a étudié la géométrie le sait,

As any current or past geometry student knows,

the father of geometry was Euclid,

le père de la géométrie est Euclide,

a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E.

un mathématicien Grec qui vivait à Alexandrie, en Égypte

vers 300 avant J.C.

Euclide est connu comme l'auteur

Euclid is known as the author of a singularly influential work

d'un travail particulièrement important connu sous le titre d' Éléments

known as "Elements."

Vous pensez que votre manuel de math est long ?

You think your math book is long?

Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry.

Éléments d'Euclide comporte 13 volumes remplis uniquement de géométrie.

In "Elements," Euclid structured and supplemented the work

Dans Éléments, Euclide a structuré et complété

le travail d'un grand nombre de mathématiciens qui l'avaient précédé,

of many mathematicians that came before him,

tels que Pythagore,

such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others.

Eudoxe,

Hippocrate,

et d'autres.

Euclid laid it all out as a logical system of proof

Euclide a tout décrit comme un système logique de preuves

construit à partir d'un ensemble de définitions,

built up from a set of definitions,

de notions générales,

common notions, and his five famous postulates.

et ses cinq fameux axiomes.

Four of these postulates are very simple and straightforward,

Quatre de ces axiomes sont très simples et clairs,

par exemple, deux points déterminent une droite.

two points determine a line, for example.

The fifth one, however, is the seed that grows our story.

Le cinquième, cependant, est la source de notre histoire.

Ce cinquième et mysterieux axiome est connu

This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate.

sous le nom de "l'Axiome des Parallèles"

Contrairement aux quatre premiers,

You see, unlike the first four,

the fifth postulate is worded in a very convoluted way.

le cinquième axiome est rédigé d'une manière alambiquée.

Euclid's version states that,

La version d'Euclide énonce que,

"If a line falls on two other lines

« Si une droite tombant sur deux droites

so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal

fait que la somme des deux angles intérieurs

du même côté de la transversale

add up to less than two right angles,

est inférieure à deux angles droits

se rencontreront de ce côté

then the lines eventually intersect on that side,

and therefore are not parallel."

et ne sont donc pas parallèles."

Wow, that is a mouthful!

Ça c'est de la diction !

Here's the simpler, more familiar version:

En voilà une version plus simple et plus familière :

"In a plane, through any point not on a given line,

« Dans un plan, à travers tout point n'étant pas sur une droite,

une et une seule droite peut être tracée

only one new line can be drawn that's parallel to the original one."

qui est parallèle à la première. »

Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate

De nombreux mathématiciens à travers les siècles

ont essayé de prouver l'axiome des parallèles à partir des quatre autres,

from the other four, but weren't able to do so.

mais en ont été incapables.

Ce faisant, ils ont commencé à regarder

In the process, they began looking at what would happen logically

ce qui arriverait logiquement

si le cinquième axiome était faux.

if the fifth postulate were actually not true.

Les plus grands esprits

Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question,

dans l'histoire des mathématiques ont posé cette question,

des personnes telles que Ibn al-Haytham,

people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam,

Omar Khayyam,

Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri,

Nasir al-Din al-Tusi,

Giovanni Saccheri,

Janos Bolyai,

János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky.

Carl Gauss,

et Nikolai Lobachevsky.

They all experimented with negating the parallel postulate,

Ils ont tous expérimenté l a négation de l'axiome des parallèles,

pour découvrir que cela donnait naissance

only to discover that this gave rise to entire alternative geometries.

à des géométries entières alternatives.

On connait l’ensemble de ces géométries

These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries.

sous le nom de Géométries non-euclidiennes.

We'll leave the details of these different geometries for another lesson.

On laissera les détails

de ces différentes géométries pour une autre leçon,

la principale différence dépend de la courbure

The main difference depends on the curvature of the surface

de la surface sur laquelle les droites sont crées.

upon which the lines are constructed.

Il s'avère qu'Euclide ne nous a pas raconté

Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements,"

toute l'histoire dans Éléments

il a simplement décrit une façon possible

and merely described one possible way to look at the universe.

de regarder l'univers.

Tout dépend du contexte de ce que l'on regarde.

It all depends on the context of what you're looking at.

Des surfaces plates agissent d'une certaine manière,

Flat surfaces behave one way,

tandis que les surfaces courbées positivement et négativement

while positively and negatively curved surfaces

font preuve de caractéristiques très différentes.

display very different characteristics.

Au début, ces géométries alternatives paraissaient un peu étranges

At first these alternative geometries seemed strange,

mais on les a rapidement trouvées tout aussi parfaites

but were soon found to be equally adept at describing the world around us.

pour décrire le monde qui nous entoure.

Navigating our planet requires elliptical geometry

Naviguer sur notre planète requiert une géométrie elliptique

while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry.

tandis que l'essentiel de l'art de M.C. Escher

affiche une géométrie hyperbolique.

Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well

Albert Einstein a lui aussi utilisé une géométrie non-euclidienne

to describe how space-time becomes warped in the presence of matter,

pour décrire la manière dont l'espace-temps,

devient énergie en présence de matière

dans sa Théorie Générale de la Relativité.

as part of his general theory of relativity.

The big mystery is whether Euclid had any inkling

Le grand mystère ici est si oui ou non Euclide

avait le moindre soupçon de l’existence de ces autres géométries

of the existence of these different geometries

quand il a écrit son mystèrieux axiome.

when he wrote his postulate.

We may never know,

Nous ne connaitrons probablement jamais la réponse à cette question

but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature,

mais il semble difficile de croire

qu'il n'avait pas la moindre idée de leur nature,

étant le génie qu'il était

being the great intellect that he was

et comprenant le domaine aussi parfaitement.

and understanding the field as thoroughly as he did.

Peut être le savait-il

Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way

et a écrit l'axiome de telle manière

que des esprits curieux après lui

as to leave curious minds after him to flush out the details.

viendraient débusquer les détails.

If so, he's probably pleased.

Si c'est le cas, il doit être heureux.

These discoveries could never have been made

Ces découvertes n'auraient jamais été faites

without gifted, progressive thinkers

sans des penseurs talentueux et progressistes

able to suspend their preconceived notions

qui sont capables de suspendre leurs notions préconçues

et de réfléchir en dehors de ce qu'il ont appris.

and think outside of what they've been taught.

We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions

Nous aussi devons être prêt parfois

à mettre de côté nos notions préconçues et expériences physiques

and physical experiences

et regarder l'ensemble,

and look at the larger picture,

or we risk not seeing the rest of the story.

ou nous risquons de ne pas voir le reste de l'histoire.