Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky

O intrigante Postulado das Paralelas de Euclides — Jeff Dekofsky

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Tradutor: Isabel Villan Revisor: Leonardo Silva

Como qualquer estudante de geometria sabe,

As any current or past geometry student knows,

the father of geometry was Euclid,

o pai da Geometria foi Euclides,

a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E.

um matemático grego que viveu em Alexandria, Egito,

aproximadamente em 300 a.C.

Euclides é conhecido como o autor

Euclid is known as the author of a singularly influential work

de um trabalho particularmente influente chamado "Elementos".

known as "Elements."

Você acha que seu livro de matemática é longo?

You think your math book is long?

Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry.

"Elementos", de Euclides, tem 13 volumes preenchidos somente com geometria.

In "Elements," Euclid structured and supplemented the work

Em "Elementos", Euclides estruturou e complementou

o trabalho de muitos matemáticos que vieram antes dele,

of many mathematicians that came before him,

como Pitágoras,

such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others.

Eudóxio,

Hipócrates

e outros.

Euclid laid it all out as a logical system of proof

Eclides colocou isso tudo como um sistema lógico de prova,

construído por um conjunto de definições,

built up from a set of definitions,

noções comuns

common notions, and his five famous postulates.

e seus cinco famosos postulados.

Four of these postulates are very simple and straightforward,

Quatro desses postulados são muito simples e diretos,

dois pontos determinam uma reta, por exemplo.

two points determine a line, for example.

The fifth one, however, is the seed that grows our story.

O quinto, entretanto, é a semente que faz germinar nossa história.

Este quinto postulado misterioso é conhecido

This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate.

simplesmente como o "Postulado das Paralelas".

Vejam, diferente dos quatro primeiros,

You see, unlike the first four,

the fifth postulate is worded in a very convoluted way.

o quinto postulado é enunciado de uma forma bastante complexa.

Euclid's version states that,

A versão de Euclides afirma que:

"If a line falls on two other lines

"Se uma reta transpassa duas outras retas

so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal

de forma que a medida dos dois ângulos interiores

no mesmo lado da transversal

add up to less than two right angles,

soma menos que dois ângulos retos,

então as retas finalmente se interceptam nesse lado,

then the lines eventually intersect on that side,

and therefore are not parallel."

e, portanto, não são paralelas."

Wow, that is a mouthful!

Uau, isso é um bocado!

Here's the simpler, more familiar version:

Aqui está a versão mais simples, mais conhecida:

"In a plane, through any point not on a given line,

"Em um plano, por qualquer ponto fora de uma dada reta,

apenas uma nova reta pode ser desenhada

only one new line can be drawn that's parallel to the original one."

que seja paralela à original."

Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate

Muitos matemáticos ao longo dos séculos

tentaram provar o postulado das paralelas a partir dos outros quatro,

from the other four, but weren't able to do so.

mas não foram capazes de fazer isso.

No processo, eles começaram a analisar

In the process, they began looking at what would happen logically

o que aconteceria logicamente

se o quinto postulado não fosse realmente verdadeiro.

if the fifth postulate were actually not true.

Algumas das maiores mentes

Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question,

na história da matemática fizeram esta pergunta,

pessoas como Ibn al-Haytham,

people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam,

Omar Khayyam,

Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri,

Nasir al-Din al-Tusi,

Giovanni Saccheri,

Janos Bolyai,

János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky.

Carl Gauss

e Nikilai Lobachevsky.

They all experimented with negating the parallel postulate,

Todos eles tentaram negar o Postulado das Paralelas,

apenas para descobrir que isso dava origem

only to discover that this gave rise to entire alternative geometries.

a geometrias alternativas.

Essas geometrias tornaram-se conhecidas coletivamente

These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries.

como Geometrias Não Euclidianas.

We'll leave the details of these different geometries for another lesson.

Bem, deixaremos os detalhes

dessas geometrias diferentes para outra aula.

A principal diferença depende da curvatura

The main difference depends on the curvature of the surface

da superfície sobre a qual essas retas são construídas.

upon which the lines are constructed.

Ocorre que Euclides não nos contou

Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements,"

toda a história em "Elementos";

ele simplesmente descreveu uma maneira possível

and merely described one possible way to look at the universe.

de olhar para o universo.

Tudo depende do contexto para o qual você está olhando.

It all depends on the context of what you're looking at.

Superfícies planas comportam-se de uma forma,

Flat surfaces behave one way,

enquanto que superfícies curvadas positiva ou negativamente

while positively and negatively curved surfaces

apresentam características muito diferentes.

display very different characteristics.

De início, essas geometrias alternativas pareciam um pouco estranhas,

At first these alternative geometries seemed strange,

mas logo se descobriu que eram igualmente aptas

but were soon found to be equally adept at describing the world around us.

a descrever o mundo à nossa volta.

Navigating our planet requires elliptical geometry

Navegar pelo nosso planeta requer geometria elíptica

while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry.

e muito da arte de M.C. Escher

apresenta geometria hiperbólica.

Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well

Albert Einstein também usou geometria não euclidiana

to describe how space-time becomes warped in the presence of matter,

para descrever como o espaço-tempo

promove uma variação de energia na presença da matéria,

como parte de sua Teoria Geral da Relatividade.

as part of his general theory of relativity.

The big mystery is whether Euclid had any inkling

O grande mistério aqui é se Euclides tinha ou não

qualquer indício da existência dessas diferentes geometrias

of the existence of these different geometries

quando escreveu seu misterioso postulado.

when he wrote his postulate.

We may never know,

Talvez nunca saibamos a resposta para esta questão,

but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature,

mas parece difícil acreditar

que ele não tivesse a menor ideia de sua natureza,

sendo o grande intelectual que era

being the great intellect that he was

e conhecendo a área tão profundamente como conhecia.

and understanding the field as thoroughly as he did.

Talvez ele soubesse

Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way

e intencionalmente escreveu o Postulado das Paralelas de forma

a deixar que mentes curiosas depois dele

as to leave curious minds after him to flush out the details.

se ocupassem dos detalhes.

If so, he's probably pleased.

Se é assim, ele provavelmente está bastante satisfeito.

These discoveries could never have been made

Essas descobertas nunca teriam sido feitas

without gifted, progressive thinkers

sem pensadores talentosos e progressistas

able to suspend their preconceived notions

que foram capazes de abandonar suas noções preconcebidas

e pensar além do que lhes havia sido ensinado.

and think outside of what they've been taught.

We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions

Nós, também, devemos estar dispostos de tempos em tempos

a colocar de lado nossas noções preconcebidas e experiências físicas

and physical experiences

e ampliar nossa visão,

and look at the larger picture,

or we risk not seeing the rest of the story.

ou nos arriscamos a não ver o restante da história.