Euclid's puzzling parallel postulate - Jeff Dekofsky

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

翻訳: Hiroshi Uchiyama 校正: Tomoyuki Suzuki

As any current or past geometry student knows,

今も昔も幾何学を勉強したら皆

the father of geometry was Euclid,

幾何学の父は ユークリッドだと知っています

a Greek mathematician who lived in Alexandria, Egypt, around 300 B.C.E.

ギリシャの数学者で紀元前300年頃に エジプトのアレキサンドリアに住んでいました

Euclid is known as the author of a singularly influential work

ユークリッドは並外れた影響を与えた 『原論』の著者として

known as "Elements."

知られています

You think your math book is long?

分厚い数学の本も数あれど

Euclid's "Elements" is 13 volumes full of just geometry.

『原論』は幾何学だけを扱って 全13巻にもなります

In "Elements," Euclid structured and supplemented the work

『原論』の中で 先人数学者たちの研究内容を

of many mathematicians that came before him,

体系的に構成し 不足している内容を補いました

such as Pythagoras, Eudoxus, Hippocrates and others.

先人とはピタゴラス、エウドクソス ヒポクラテスなどです

Euclid laid it all out as a logical system of proof

ユークリッドは証明の論理体系を

built up from a set of definitions,

一連の定義、共通概念と

common notions, and his five famous postulates.

５つの有名な公準により組み立てました

Four of these postulates are very simple and straightforward,

公準の内４つはシンプルかつ直感的で

two points determine a line, for example.

２点は１つの直線を決定すると 云ったものです

The fifth one, however, is the seed that grows our story.

しかし ５つ目の公準から 我々の話が展開します

This fifth mysterious postulate is known simply as the parallel postulate.

第５の不可思議な公準は 平行線公準として知られています

You see, unlike the first four,

他の４つの公準と違い

the fifth postulate is worded in a very convoluted way.

第５の公準はとても入り組んだ 記述になっています

Euclid's version states that,

ユークリッドの記述は

"If a line falls on two other lines

「２つの直線と１つの直線が交わるとき

so that the measure of the two interior angles on the same side of the transversal

１つの直線の同じ側にある内角の和が

add up to less than two right angles,

２直角より小さいなら

then the lines eventually intersect on that side,

２直線は その内角がある側の どこかに交点を有し

and therefore are not parallel."

それゆえ平行ではない」

Wow, that is a mouthful!

ああ 長ったらしい！

Here's the simpler, more familiar version:

もっと単純で 良く知られたものもあります

"In a plane, through any point not on a given line,

「平面上に直線と この直線上にない点が与えられたとき

only one new line can be drawn that's parallel to the original one."

この直線に平行で この点を通る直線は ただ１本だけ引くことができる」

Many mathematicians over the centuries tried to prove the parallel postulate

何世紀にもわたり多くの数学者が 他の４つの公準から

from the other four, but weren't able to do so.

平行線公準を証明しようと試みましたが できませんでした

In the process, they began looking at what would happen logically

証明の過程において彼らは 平行線公準が正しくないとすると

if the fifth postulate were actually not true.

論理的に何が起きるのかを 考察し始めました

Some of the greatest minds in the history of mathematics ask this question,

数学史上で最も偉大な人たちの中に この問題に取り組む者もいました

people like Ibn al-Haytham, Omar Khayyam,

イブン・ハイサム ウマル・ハイヤーム

Nasir al-Din al-Tusi, Giovanni Saccheri,

ナスィールッディーン・トゥースィー ジョヴァンニ・サッケーリ

János Bolyai, Carl Gauss, and Nikolai Lobachevsky.

ヤノス・ボヤイ、カール・ガウス ニコライ・ロバチェフスキーらです

They all experimented with negating the parallel postulate,

彼らは平行線公準を否定した上で 論理展開を試みましたが

only to discover that this gave rise to entire alternative geometries.

単に別の幾何学が 導かれただけでした

These geometries became collectively known as non-Euclidean geometries.

これらの幾何学をまとめて 非ユークリッド幾何学と呼びます

We'll leave the details of these different geometries for another lesson.

その詳細は別の教材に 譲ることにしますが

The main difference depends on the curvature of the surface

直線を描く面の曲率が 主な違いです

upon which the lines are constructed.

Turns out Euclid did not tell us the entire story in "Elements,"

結局 ユークリッドが『原論』では 全てが説明しつくされてはおらず

and merely described one possible way to look at the universe.

宇宙の見方の一つを記述したに 過ぎないと分かりました

It all depends on the context of what you're looking at.

すべてはあなたが何を見ているかの コンテキストに依存します

Flat surfaces behave one way,

平面があるふるまいを示す一方で

while positively and negatively curved surfaces

曲面はその曲率が正であれ負であれ

display very different characteristics.

まったく異なる性質を示します

At first these alternative geometries seemed strange,

このような別種の幾何学は 最初は奇妙に思われましたが

but were soon found to be equally adept at describing the world around us.

まもなくして私たちの世界の描写に 適してしていると分かりました

Navigating our planet requires elliptical geometry

地球の周りを航行するには 楕円幾何学が必要ですし

while the much of the art of M.C. Escher displays hyperbolic geometry.

M.C.エッシャーの見事な絵は 双曲幾何学を表しています

Albert Einstein used non-Euclidean geometry as well

アルバート・アインシュタインも 非ユークリッド幾何学を用い

to describe how space-time becomes warped in the presence of matter,

物質の存在下で 時空がいかに歪むかを

as part of his general theory of relativity.

一般相対性理論の中で論述しました

The big mystery is whether Euclid had any inkling

重大なミステリーは ユークリッドが『原論』の執筆時に

of the existence of these different geometries

そのような異なる幾何学の存在を

when he wrote his postulate.

うすうす感じていたのか です

We may never know,

誰にも分らない事でしょうが

but it's hard to believe he had no idea whatsoever of their nature,

そのような幾何学の本質について 全く考えが及ばなかったとは思い難いのです

being the great intellect that he was

彼は素晴らしい知性をもち

and understanding the field as thoroughly as he did.

自ら打ち立てた分野を 完全に理解していたのですから

Maybe he did know and he wrote the postulate in such a way

多分 彼には分かっていて 彼の公準の記述の仕方には

as to leave curious minds after him to flush out the details.

後世の知的な探求によって解明する余地が 残されていたのかもしれません

If so, he's probably pleased.

そうなら彼は喜んでいるでしょう

These discoveries could never have been made

これらの発見は

without gifted, progressive thinkers

才能のある先進的な学者が

able to suspend their preconceived notions

先入観を打ち破り 彼らが教わった事を

and think outside of what they've been taught.

超越するような思考なしに 成し遂げられませんでした

We, too, must be willing at times to put aside our preconceived notions

私たちも 時折 先入観を捨て

and physical experiences

実体験に囚われず

and look at the larger picture,

もっと大きな概念で捉えないと

or we risk not seeing the rest of the story.

別の見方があることに 気づかぬ恐れがあります