How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

كيف غيرت مشكلة جسر كونيغسبرغ الرياضيات ؟ - Dan Van der Vieren

المترجم: Fatima Zahra El Hafa المدقّق: Hussain Laghabi

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

ستواجه صعوبة في إيجاد مدينة كونيغسبيرغ على أي خرائط حديثة.

but one particular quirk in its geography

ولكن خاصية معينة في جغرافيتها

has made it one of the most famous cities in mathematics.

جعلتها واحدة من أشهر المدن في الرياضيات.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

تقع المدينة الألمانية العائدة للقرون الوسطى على جانبي نهر بريجل.

At the center were two large islands.

كانت تتواجد في مركزها جزيرتان كبيرتان.

The two islands were connected to each other and to the river banks

كانت الجزيرتان مرتبطتين ببعضهما وبضفاف النهر

by seven bridges.

بواسطة سبعة جسور.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

كارل غوتليب إيلر، عالم الرياضيات الذي أصبح لاحقا رئيس بلدية بلدة مجاورة،

grew obsessed with these islands and bridges.

كان مهووسا بهذه الجزر والجسور.

He kept coming back to a single question:

وظل يفكر في سؤال واحد:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

أي الطرق يمكنها السماح لشخص بعبور كل الجسور السبعة

without crossing any of them more than once?

دون عبور أي منها أكثر من مرة؟

Think about it for a moment.

فكر للحظة .

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

هل تعلن استسلامك؟

You should.

يجب عليك ذلك.

It's not possible.

إنه أمر غير ممكن.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

ولكن محاولة شرح السبب قادت عالم الرياضيات الشهير ليونهارت أويلر

to invent a new field of mathematics.

لابتكار حقل جديد من الرياضيات.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

كتب كارل لأويلر طالبا مساعدته في هذه المشكلة.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

رفض أويلر في البداية كون المسألة لها علاقة بالرياضيات.

But the more he wrestled with it,

ولكن كلما تصارع معها،

the more it seemed there might be something there after all.

كلما بدا أنه ربما هناك علاقة ما .

The answer he came up with had to do with a type of geometry

الجواب الذي جاء به كان مرتبطا بفرع من الهندسة

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

لم يكن موجودا بعد، وهو ما أسماه بهندسة الأماكن،

now known as Graph Theory.

يعرف الآن باسم نظرية المخططات.

Euler's first insight

أول ما فطن له أويلر

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

هو أن الطريق المسلوكة لدخول جزيرة أو ضفة نهر ومغادرتها

didn't actually matter.

لا تهم في الواقع.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

وهكذا، يمكن تبسيط الخريطة بتمثيل كل من المناطق الأربع لليابسة

represented as a single point,

بنقطة واحدة،

what we now call a node,

ما نسميه الآن بعقدة،

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

مع خطوط أو أقواس، بينها لتمثيل الجسور.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

وهذا المخطط المبسط يسمح لنا بحساب درجات كل عقدة بسهولة.

That's the number of bridges each land mass touches.

هذا هو عدد الجسور المتصلة بكل منطقة يابسة.

Why do the degrees matter?

ما أهمية الدرجات؟

Well, according to the rules of the challenge,

حسنا، وفقا لقواعد التحدي،

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

بمجرد وصول المسافرين إلى اليابسة عبر جسر معين ،

they would have to leave it via a different bridge.

يجب عليهم المغادرة عبر جسر مختلف.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

بعبارة أخرى، فإن الجسور المؤدية من وإلى كل عقدة على أي طريق

must occur in distinct pairs,

يجب أن تكون ذات أزواج مختلفة،

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

وهذا يعني أن عدد الجسور المتصلة بكل منطقة يابسة تمت زيارتها

must be even.

يجب أن يكون زوجيا.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

إن الاستثناءات الوحيدة الممكنة هي مواقع بداية

and end of the walk.

ونهاية المسيرة.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

عند النظر إلى المخطط، يتضح أن كافة العقد الأربع لديها درجة فردية.

So no matter which path is chosen,

إذن وبغض النظر عن المسار المختار ،

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

فإنه سيتعيَّن عند نقطة ما، عبور أحد الجسور مرتين.

Euler used this proof to formulate a general theory

استخذم أويلر هذا البرهان لصياغة نظرية عامة

that applies to all graphs with two or more nodes.

تنطبق على جميع المخططات التي تظم عقدتين أو أكثر .

A Eulerian path that visits each edge only once

مسار أويلر الذي يجتاز كل قوس مرة واحدة فقط

is only possible in one of two scenarios.

ممكن في حالة واحدة من أصل اثنتين.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

الأولى هي عندما تكون هناك بالضبط عقدتين من درجة فردية،

meaning all the rest are even.

مما يعني أن ما تبقى زوجي.

There, the starting point is one of the odd nodes,

في هذه الحالة، نقطة البداية هي أحد العقد الفردية،

and the end point is the other.

والأخرى هي نقطة النهاية .

The second is when all the nodes are of even degree.

والحالة الثانية هي عندما تكون كافة العقد ذات درجة زوجية.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

حينها سيبدأ مسار أولير وينتهي في نفس الموقع،

which also makes it something called a Eulerian circuit.

وهذا ما يجعل منه ما يسمى أيضا بدارة أويلر.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

إذن كيف يمكن لك إنشاء مسار أويلر في كنيغسبرغ؟

It's simple.

هذا بسيط.

Just remove any one bridge.

فقط أزل أحد الجسور.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

ويتضح أن التاريخ خلق مسار أويلر من تلقاء نفسه.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

خلال الحرب العالمية الثانية، دمرت قوات الجو السوفياتية اثنين من جسور المدينة،

making a Eulerian path easily possible.

ممهِّدة الطريق لمسار أويلر .

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

لكن ، ولكي نكون عادلين، لم تكن هذه هي نيتهم على الأرجح.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

محت هذه التفجيرات إلى حد كبير كنيغسبرغ من الخريطة،

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

وأعيد بناؤها لاحقا لتصبح المدينة الروسية "كالينينغراد".

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

إذن ورغم أن كنيغسبرغ وجسورها السبعة لم تعد متواجدة الآن ،

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

فسيتم تذكرها على مدار التاريخ عبر اللغز الذي يبدو تافها

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

والذي أدى إلى ظهور حقل جديد كليا من الرياضيات.