How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Come il problema dei ponti di Königsberg cambiò la matematica - Dan Van der Vieren

Traduttore: Greta Longobardi Revisore: Maria Grazia Giuffrida

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

Ti sarà difficile trovare Königsberg in qualsiasi cartina moderna

but one particular quirk in its geography

ma una particolare stranezza nella sua geografia

has made it one of the most famous cities in mathematics.

l'ha resa una delle città più famose nella matematica.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

La città medievale tedesca si estende su entrambe le sponde del fiume Pregel.

At the center were two large islands.

Al centro c'erano due grandi isole.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Le due isole erano collegate tra di loro e agli argini del fiume

by seven bridges.

da sette ponti.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Carl Gottlieb Ehler, un matematico che poi divenne sindaco di una città vicina,

grew obsessed with these islands and bridges.

si ossessionò con queste isole e i loro ponti.

He kept coming back to a single question:

Continuava a pensare a una domanda:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

Quale percorso avrebbe permesso di attraversare tutti e sette i ponti

without crossing any of them more than once?

senza attraversarne nessuno più di una volta?

Think about it for a moment.

Pensaci un momento.

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

Ti arrendi?

You should.

Dovresti.

It's not possible.

Non è possibile.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Ma provando a spiegarne il perché il famoso matematico Leonhard Euler

to invent a new field of mathematics.

inventò un nuovo campo della matematica.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Carl scrisse a Euler chiedendo aiuto per il problema.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Euler inizialmente respinse il problema dicendo che non concerneva la matematica.

But the more he wrestled with it,

Ma più si sforzava,

the more it seemed there might be something there after all.

più sembrava che ci potesse essere qualcosa dopotutto.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

La risposta che gli venne in mente aveva a che fare con un tipo di geometria

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

che non esisteva ancora, che chiamò la Geometria Topologica,

now known as Graph Theory.

ora conosciuta come Teoria dei Grafi.

Euler's first insight

La prima intuizione di Euler

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

fu che il percorso da intraprendere entrando nell'isola o sulla riva e uscirne

didn't actually matter.

non importava davvero.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Così, la mappa poteva essere semplificata in modo che ognuno delle quattro terre

represented as a single point,

rappresentasse un punto singolo,

what we now call a node,

che ora chiamiamo un Nodo,

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

con linee, o collegamenti, tra di loro per rappresentare i ponti.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

Questo grafico semplificato ci permette di contare facilmente i gradi di ogni nodo.

That's the number of bridges each land mass touches.

Quello è il numero di ponti che ciascuna terra tocca.

Why do the degrees matter?

Perché i gradi sono importanti?

Well, according to the rules of the challenge,

Beh, stando alle regole della sfida,

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

una volta che i viaggiatori arrivano su una terra da un ponte,

they would have to leave it via a different bridge.

dovranno lasciarla attraverso un altro ponte.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

In altre parole, i ponti tra ogni nodo o tragitto

must occur in distinct pairs,

devono presentarsi in coppie distinte,

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

cioè il numero di ponti che toccano ogni terra visitata

must be even.

deve essere pari.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

L'unica possibile eccezione possono essere i punti di inizio

and end of the walk.

e fine del tragitto.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Guardando il grafico, è chiaro che tutti e quattro i nodi hanno un grado dispari.

So no matter which path is chosen,

Perciò, non importa che percorso scegli,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

ad un certo punto, un ponte dovrà essere attraversato due volte.

Euler used this proof to formulate a general theory

Euler usò questa dimostrazione per formulare una teoria generale

that applies to all graphs with two or more nodes.

da applicare a tutti i grafici con due o più nodi.

A Eulerian path that visits each edge only once

Un cammino Euleriano, che attraversa ogni margine solo una volta

is only possible in one of two scenarios.

è possibile solo in due modi.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

Il primo è quando ci sono esattamente due nodi di grado dispari,

meaning all the rest are even.

e quindi i restanti sono pari.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Quindi, il punto di inizio è uno dei nodi dispari,

and the end point is the other.

e il punto di fine è l'altro.

The second is when all the nodes are of even degree.

Il secondo è quando tutti i nodi sono di grado pari.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Perciò, il cammino Euleriano inizierà e terminerà nello stesso punto,

which also makes it something called a Eulerian circuit.

che lo rende tale da essere chiamato circuito Euleriano.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Quindi, come creare un cammino Euleriano a Königsberg?

It's simple.

è semplice.

Just remove any one bridge.

Basta eliminare un ponte qualsiasi.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Ed è successo che la storia ha creato un cammino Euleriano da sola.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

Durante la II Guerra Mondiale, gli aerei sovietici distrussero due dei ponti,

making a Eulerian path easily possible.

realizzando facilmente un cammino Euleriano.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Anche se, onestamente, non credo fosse loro intenzione.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Questi bombardamenti quasi spazzarono via Königsberg dalla mappa,

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

e in seguito fu ricostruita come città russa con il nome di Kaliningrad.

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Perciò anche se Königsberg e i suoi sette ponti possono non esistere più,

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

saranno ricordati nella storia per l'enigma apparentemente triviale

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

che portò alla nascita di un intero nuovo campo della matematica.