How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Tłumaczenie: Ola Królikowska Korekta: Rysia Wand

Dziś trudno byłoby wam znaleźć Królewiec na mapie,

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

ale pewna jego geograficzna osobliwość

but one particular quirk in its geography

has made it one of the most famous cities in mathematics.

spowodowała, że Królewiec stał się jednym z najsłynniejszych miast w matematyce.

Przez to średniowieczne niemieckie miasto przepływała rzeka Pregoła.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

At the center were two large islands.

Pośrodku rzeki leżały dwie duże wyspy.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Połączone były z lądem i między sobą

by seven bridges.

siedmioma mostami.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Carl Gottlieb Ehler, matematyk, a później burmistrz pobliskiego miasta,

grew obsessed with these islands and bridges.

miał obsesję na punkcie tych wysp i mostów.

He kept coming back to a single question:

Wciąż powracał do jednego pytania:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

Która trasa umożliwiłaby przejście wszystkich siedmiu mostów

bez pokonania żadnego więcej niż raz?

without crossing any of them more than once?

Pomyślcie o tym przez chwilę.

Think about it for a moment.

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

Daliście sobie spokój?

Powinniście.

You should.

It's not possible.

To niemożliwe.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Próby wyjaśnienia tej zagadki doprowadziły słynnego matematyka Leonharda Eulera

to invent a new field of mathematics.

do stworzenia nowego działu w matematyce.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Carl pisał do Eulera z prośbą o pomoc.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Euler początkowo zignorował pytanie jako niezwiązane z matematyką.

But the more he wrestled with it,

Jednak im więcej nad nim myślał,

the more it seemed there might be something there after all.

tym bardziej wydawało mu się, że coś w tym jednak jest.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

Odpowiedź, na którą wpadł, związana była z działem geometrii,

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

który wtedy jeszcze nie istniał.

Nazwał go geometrią położenia, znaną dziś jako teoria grafów.

now known as Graph Theory.

Euler's first insight

Euler doszedł do wniosku,

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

że kolejność przejścia mostów

didn't actually matter.

nie ma tak naprawdę żadnego znaczenia.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Mapę można więc ograniczyć do przedstawienia czterech lądów,

represented as a single point,

oznaczonych przez pojedyncze punkty,

what we now call a node,

nazywanych dziś wierzchołkami.

Linie między nimi reprezentują mosty.

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

Ten uproszczony schemat pozwala nam łatwo policzyć łuki każdego wierzchołka.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

That's the number of bridges each land mass touches.

Jest to liczba mostów, które dotyka każdy z lądów.

Dlaczego to ma takie znaczenie?

Why do the degrees matter?

Well, according to the rules of the challenge,

Zgodnie z zasadami,

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

jeśli człowiek wejdzie na ląd przez jeden most,

they would have to leave it via a different bridge.

będzie musiał wejść na kolejny most, by opuścić ląd.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

Innymi słowy, mosty prowadzące na każdy ląd i z niego

must occur in distinct pairs,

muszą łączyć się w pary.

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

To oznacza, że każdy z nich musi być połączony parzystą liczbą mostów z innymi.

must be even.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

Jedynym wyjątkiem są początek i koniec trasy.

and end of the walk.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Po spojrzeniu na schemat okazuje się,

że wszystkie lądy mają nieparzystą ilość łuków.

Obrana trasa nie ma więc znaczenia.

So no matter which path is chosen,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

W którymś momencie jeden most będzie trzeba przekroczyć dwukrotnie.

Euler used this proof to formulate a general theory

Euler wykorzystał ten dowód do sformułowania ogólnej teorii

that applies to all graphs with two or more nodes.

odnoszącej się do wszystkich grafów z dwoma lub większą liczbą łuków.

A Eulerian path that visits each edge only once

Łańcuch Eulera, w którym każdy most przekracza się tylko raz,

is only possible in one of two scenarios.

jest możliwy tylko w dwóch przypadkach.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

Pierwszy przypadek to dokładnie dwa wierzchołki z nieparzystą liczbą łuków,

meaning all the rest are even.

czyli że wszystkie pozostałe są parzyste.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Tymi dwoma wierzchołkami są punkt początkowy i punkt końcowy trasy.

and the end point is the other.

The second is when all the nodes are of even degree.

W drugim przypadku wszystkie wierzchołki mają parzystą liczbę łuków.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Droga rozpoczyna się wtedy i kończy w tym samym miejscu,

co tworzy tak zwany cykl Eulera.

which also makes it something called a Eulerian circuit.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Jak więc stworzyć łańcuch Eulera w Królewcu?

It's simple.

To proste.

Just remove any one bridge.

Wystarczy usunąć jeden most.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Okazuje się, że historia stworzyła już kiedyś własny łańcuch Eulera.

Podczas II wojny światowej radzieckie lotnictwo zniszczyło dwa mosty,

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

making a Eulerian path easily possible.

powodując, że łańcuch Eulera stał się możliwy.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Oczywiście nie o to chodziło radzieckim lotnikom.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Bombardowania w znacznej części zmiotły Królewiec z powierzchni ziemi.

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

Odbudowano go później jako rosyjskie miasto Kaliningrad.

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Choć Królewca i jego siedmiu mostów już nie ma,

to zagadnienie siedmiu mostów zapisało się w historii

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

jako pozornie trywialna zagadka,

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

która zapoczątkowała nową dziedzinę matematyki.