How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Übersetzung: Nadine Hennig Lektorat: Swenja Gawantka

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

Heute findet man die Stadt Königsberg nicht mehr auf der Karte,

but one particular quirk in its geography

aber eine besondere Eigenheit in ihrer geografischen Struktur

has made it one of the most famous cities in mathematics.

machte sie zu einer der bekanntesten Städte in der Mathematik.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

Die mittelalterliche deutsche Stadt lag auf beiden Seiten des Pregel.

At the center were two large islands.

Im Stadtzentrum gab es zwei große Inseln.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Diese zwei Inseln waren miteinander und mit den Flussufern

by seven bridges.

durch sieben Brücken verbunden.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Der Mathematiker Carl Gottlieb Ehler,

der später Bürgermeister einer benachbarten Stadt wurde,

grew obsessed with these islands and bridges.

war von diesen Inseln und Brücken fasziniert.

He kept coming back to a single question:

Er stellte sich immer wieder eine einzige Frage:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

Welche Strecke muss man gehen, um alle 7 Brücken zu überqueren,

without crossing any of them more than once?

ohne auch nur eine davon mehr als einmal zu überqueren?

Think about it for a moment.

Denke einen Moment darüber nach.

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

Du gibst auf?

You should.

Das solltest du auch.

It's not possible.

Denn es ist nicht möglich.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Aber mit den Erklärungsversuchen entdeckte der berühmte Mathematiker Leonhard Euler

to invent a new field of mathematics.

ein neues Gebiet der Mathematik.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Ehler schrieb an Euler und bat ihn um Hilfe.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Euler lehnte die Frage zunächst ab, da sie nichts mit Mathematik zu tun hatte.

But the more he wrestled with it,

Aber umso mehr er mit der Frage rang,

the more it seemed there might be something there after all.

umso mehr schien es, dass da doch ein Zusammenhang bestand.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

Die Antwort, die er fand, hatte nichts mit der existierenden Geometrie zu tun;

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

es war die Geometrie der Lage,

now known as Graph Theory.

die heute als Graphentheorie bekannt ist.

Euler's first insight

Euler erstes Erkenntnis:

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

Die Strecke zwischen dem Betreten einer Insel oder einem Flussufer

und dem Verlassen derer, tat nichts zur Sache.

didn't actually matter.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Also konnte die Karte vereinfacht werden:

Jede der vier Landmassen wird als ein einziger Punkt dargestellt,

represented as a single point,

what we now call a node,

was wir heute "Knoten" nennen,

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

mit Linien, oder Kanten, zwischen ihnen, um die Brücken darzustellen.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

Dieser vereinfachte Graph erlaubt es uns,

die Grade eines jeden Knotens ganz leicht zu zählen.

That's the number of bridges each land mass touches.

Das ist die Anzahl der Brücken, die jede Landmasse berührt.

Why do the degrees matter?

Warum sind die Grade wichtig?

Well, according to the rules of the challenge,

Den Regeln der Herausforderung zufolge

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

müssen Personen, die über eine Brücke an einer Landmasse ankommen,

they would have to leave it via a different bridge.

diese über eine andere Brücke wieder verlassen.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

Die Brücken, die auf einer Strecke zu und von jedem Knoten hin- und wegführen,

must occur in distinct pairs,

müssen in verschiedenen Paaren auftreten,

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

d. h. die Anzahl der Brücken, die jede besuchte Landmasse berühren,

must be even.

muss eine gerade Zahl sein.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

Die einzig möglichen Ausnahmen

sind der Anfang und das Ende des Wegs.

and end of the walk.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Sieht man sich den Graph an, wird offensichtlich:

Alle vier Knoten haben einen ungeraden Grad.

So no matter which path is chosen,

Ganz gleich, welcher Weg gewählt wird,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

an irgendeinem Punkt muss eine Brücke zweimal überquert werden.

Euler used this proof to formulate a general theory

Euler nutzte diesen Beweis, um eine allgemeine Theorie zu formulieren,

that applies to all graphs with two or more nodes.

die für alle Graphen mit zwei oder mehr Knoten gilt.

A Eulerian path that visits each edge only once

Ein Eulerischer Weg, der jede Kante nur einmal betritt,

is only possible in one of two scenarios.

ist nur in einem von 2 Szenarios möglich.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

Erstens, wenn es genau zwei Knoten mit ungeraden Grad gibt,

meaning all the rest are even.

was bedeutet, die anderen sind alle gerade.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Dann ist der Ausgangspunkt einer der ungeraden Knoten

and the end point is the other.

und der Endpunkt der andere.

The second is when all the nodes are of even degree.

Zweitens, wenn alle Knoten einen geraden Grad haben.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Dann beginnt und endet der Eulerische Weg am selben Ort,

wodurch ein sogenannter Eulerischer Rundgang entsteht.

which also makes it something called a Eulerian circuit.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Wie könntest du also einen Eulerischen Weg in Königsberg entstehen lassen?

It's simple.

Ganz einfach:

Just remove any one bridge.

Entferne einfach eine Brücke.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Sogar die Geschichte schaffte sich ihren eigenen Eulerischen Weg.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

Im Zweiten Weltkrieg zerstörte die sowjetische Luftwaffe zwei der Brücken

making a Eulerian path easily possible.

und ermöglichte somit einen Eulerischen Weg.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Aber zugegeben, das war bestimmt nicht ihre Absicht.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Diese Bombardierungen radierten Königsberg fast von der Karte aus.

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

Später wurde sie als die russische Stadt Kaliningrad wieder aufgebaut.

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Obgleich die Stadt Königsberg und ihre 7 Brücken nicht mehr existieren,

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

wird man sich wegen eines scheinbar trivialen Rätsels immer an sie erinnern,

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

das zu einem neuen Gebiet der Mathematik geführt hat.