How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Bài toán cây cầu ở Königsberg đã thay đổi Toán học như thế nào - Dan Van der Vieren

Translator: Hòa Lê Reviewer: Đông Hoàng

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

Bạn sẽ thấy khó khăn khi tìm kiếm Königsberg trên bản đồ hiện đại,

but one particular quirk in its geography

nhưng có một điểm kỳ quặc về địa lý

has made it one of the most famous cities in mathematics.

đã làm nó trở thành một trong những thành phố nổi tiếng nhất trong Toán học.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

Thành phố nước Đức thời Trung cổ này nằm hai bên bờ sông Pregel.

At the center were two large islands.

Ở trung tâm có hai hòn đảo lớn.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Hai hòn đảo được nối với nhau và với bờ sông

by seven bridges.

bởi bảy cây cầu.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Carl Gottlieb Ehler, một nhà Toán học mà sau này trở thành thị trưởng của thị trấn gần đó,

grew obsessed with these islands and bridges.

bị ám ảnh bởi những hòn đảo và cây cầu này.

He kept coming back to a single question:

Ông liên tục đặt ra chỉ một câu hỏi:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

Lộ trình nào sẽ cho phép người ta băng qua cả bảy cây cầu

without crossing any of them more than once?

mà không đi qua cái nào trong số chúng quá một lần?

Think about it for a moment.

Hãy nghĩ về nó chỉ một lát thôi.

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

Bạn đã bỏ cuộc chưa?

You should.

Bỏ cuộc đi.

It's not possible.

Điều đó là không thể.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Nhưng nỗ lực để giải thích câu hỏi tại sao đã dẫn nhà Toán học Leonhard Euler

to invent a new field of mathematics.

phát minh ra lĩnh vực toán học mới.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Carl viết thư cho Euler nhờ giúp đỡ về vấn đề đó.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Euler ban đầu gạt bỏ câu hỏi đó vì nó chẳng liên quan gì tới Toán cả.

But the more he wrestled with it,

Nhưng ông càng vật lộn với nó,

the more it seemed there might be something there after all.

dường như càng có một cái gì đó ẩn sau nó.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

Câu trả lời mà ông nghĩ ra có liên quan đến một loại hình học

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

chưa được nghiên cứu đến, cái mà ông gọi là "Hình học vị trí",

now known as Graph Theory.

ngày nay được biết đến với cái tên "Lí thuyết đồ thị".

Euler's first insight

Nhận thức đầu tiên của Euler đó là

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

lộ trình lần lượt đi vào và rời khỏi một hòn đảo hoặc một bờ sông

didn't actually matter.

thì thật sự không quan trọng.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Vì vậy, bản đồ có thể được đơn giản hóa

với mỗi trong bốn vùng đất được đại diện bởi một điểm duy nhất,

represented as a single point,

what we now call a node,

cái mà chúng ta ngày nay gọi là "nút",

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

với các đường thằng, hoặc cạnh, giữa chúng là đại diện cho những cây cầu.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

Và đồ thị giản lược này cho phép ta dễ dàng tính được "bậc" của mỗi nút.

That's the number of bridges each land mass touches.

Đó là số cây cầu mà mỗi vùng đất tiếp xúc.

Why do the degrees matter?

Vậy tại sao bậc lại quan trọng?

Well, according to the rules of the challenge,

Đó là vì, theo luật của thử thách,

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

một khi các hành khách đến được một vùng đất bởi một cây cầu,

they would have to leave it via a different bridge.

họ sẽ phải rời khỏi đó bằng một cây cầu khác.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

Nói cách khác, những cây cầu dẫn đến và dẫn từ mỗi nút trong bất cứ lộ trình nào

must occur in distinct pairs,

phải diễn ra theo từng cặp riêng biệt,

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

nghĩa là số cây cầu tiếp xúc với mỗi vùng đất đã được đến

must be even.

phải là số chẵn.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

Những ngoại lệ duy nhất đó là các vị trí của điểm xuất phát

and end of the walk.

và kết thúc của chuyến đi.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Nhìn vào đồ thị, nó trở nên rõ ràng rằng tất cả bốn nút đều có số bậc là số lẻ.

So no matter which path is chosen,

Vậy nên, bất kể lối đi nào được chọn,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

ở cùng một điểm, một cây cầu sẽ được đi qua hai lần.

Euler used this proof to formulate a general theory

Euler sử dụng bằng chứng này để xây dựng một lý thuyết chung

that applies to all graphs with two or more nodes.

mà áp dụng vào tất cả đồ thị với hai hoặc nhiều nút.

A Eulerian path that visits each edge only once

Đường đi Euler tiếp xúc mỗi cạnh chỉ một lần

is only possible in one of two scenarios.

chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

Thứ nhất là khi có chính xác hai nút ở bậc lẻ,

meaning all the rest are even.

nghĩa là tất cả số nút còn lại có bậc chẵn.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Khi đó, điểm bắt đầu là một trong số những nút lẻ,

and the end point is the other.

và điểm kết thúc sẽ là nút lẻ còn lại.

The second is when all the nodes are of even degree.

Trường hợp thứ hai là khi tất cả các nút đều có bậc chẵn.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Khi đó, đường đi Euler sẽ xuất phát và dừng ở cùng một vị trí,

lúc này biến nó trở thành Chu trình Euler.

which also makes it something called a Eulerian circuit.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Vậy làm thế nào mà bạn có thể tạo ra đường đi Euler ở Königsberg?

It's simple.

Rất đơn giản.

Just remove any one bridge.

Chỉ cần bỏ đi bất kì cây cầu nào.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Và hóa ra, lịch sử đã tạo ra một đường đi Euler cho riêng nó.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

Trong suốt Thế chiến II, Lực lượng không quân Xô Viết đã phá hủy hai cây cầu,

making a Eulerian path easily possible.

làm cho đường đi Euler trở nên dễ dàng.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Mặc dù, công bằng mà nói, điều đó có lẽ không phải là mục đích của họ.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Những vụ đánh bom này gần như đã loại bỏ Königsberg khỏi bàn đồ,

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

và sau này được xây dựng lại thành thành phố Kaliningrad của Nga

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Mặc dù Königsberg và bảy cây cầu của nó không còn tồn tại nữa,

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

nhưng chúng vẫn sẽ được nhớ đến xuyên suốt lịch sử bởi một câu đố có vẻ tầm thường

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

dẫn đến sự xuất hiện của cả một lĩnh vực Toán học hoàn toàn mới.