How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Traductor: Antonio Piñeiro Revisor: Sebastian Betti

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

Lo pasarás mal si buscas Köningsberg en un mapa moderno.

but one particular quirk in its geography

Pero un rasgo particular de su geografía

has made it one of the most famous cities in mathematics.

la hizo una de las ciudades más famosas en matemáticas.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

Esta ciudad alemana medieval descansaba en ambos lados del río Pregel.

At the center were two large islands.

En el centro tenía dos grandes islas.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Ambas estaban conectadas entre sí y hacia las orillas del río

by seven bridges.

por siete puentes.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Carl Gottlieb Ehler, matemático devenido en alcalde de un pueblo cercano,

grew obsessed with these islands and bridges.

se obsesionó con esas islas y puentes.

He kept coming back to a single question:

Seguía repitiéndose una sola pregunta:

Which route would allow someone to cross all seven bridges

¿Qué ruta le permitiría a alguien cruzar los siete puentes

without crossing any of them more than once?

atravesando cada uno una sola vez?

Think about it for a moment.

Piénsalo por un momento.

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

¿Te rindes?

You should.

Deberías.

It's not possible.

Es imposible.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Al intentar explicar por qué el célebre matemático Leonhard Euler

to invent a new field of mathematics.

creó un nuevo campo en las matemáticas.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Carl le escribió a Euler pidiendo ayuda con el problema.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Euler primero ignoró la pregunta al no tener nada que ver con las matemáticas.

But the more he wrestled with it,

Pero entre más enfrentaba el problema

the more it seemed there might be something there after all.

más le parecía que podría haber algo allí después de todo.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

La respuesta con la que lo resolvió tenía que ver con un tipo de geometría

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

que no existía aún, la llamó la Geometría de la Posición,

now known as Graph Theory.

ahora conocida como Teoría de Grafos.

Euler's first insight

La primera percepción de Euler

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

fue que el camino que se tomaba para entrar a una isla y salir de ella

didn't actually matter.

no importaba realmente.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Así, el mapa podía ser simplificado con cada una de las 4 masas de tierra

represented as a single point,

representadas con un punto,

what we now call a node,

es lo que ahora llamamos nodo,

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

y líneas, o arcos, entre ellos para representar los puentes.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

Este grafo simplificado nos permite fácilmente contar el grado de cada nodo.

That's the number of bridges each land mass touches.

O sea la cantidad de puentes que toca cada masa de tierra.

Why do the degrees matter?

¿Por qué importan los grados?

Well, according to the rules of the challenge,

Bien, según las reglas del desafío,

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

una vez que los viajeros lleguen a tierra por un puente,

they would have to leave it via a different bridge.

tendrán que salir de la misma por otro puente.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

O sea, los puentes que conducen desde y hacia cada nodo en cualquier ruta

must occur in distinct pairs,

deben pasar en distintos pares,

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

es decir que la cantidad de puentes que toca cada masa de tierra visitada

must be even.

debe ser par.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

Las únicas posibles excepciones podrían ser al principio

and end of the walk.

y al final del paseo.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Viendo el grafo, se observa que los cuatro nodos tienen grados impares.

So no matter which path is chosen,

Así que en cualquier camino que se tome,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

en un punto, habrá que cruzar un puente dos veces.

Euler used this proof to formulate a general theory

Euler usó esta prueba para formular una teoría general

that applies to all graphs with two or more nodes.

que se aplica a todos los grafos que dos o más nodos.

A Eulerian path that visits each edge only once

Un camino euleriano que visita cada arco solo una vez

is only possible in one of two scenarios.

solo es posible en uno de dos escenarios.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

El primero es cuando hay exactamente dos nodos de grado impar

meaning all the rest are even.

lo que significa que los demás son pares.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Así, el punto de partida es uno de los nodos impares,

and the end point is the other.

y el punto de llegada es el otro.

The second is when all the nodes are of even degree.

El segundo escenario es cuando todos los nodos son de grado par.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Entonces, el camino euleriano empezará y terminará en el mismo lugar,

which also makes it something called a Eulerian circuit.

lo que crea algo conocido como ciclo euleriano.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Entonces ¿cómo crearías un camino euleriano en Königsberg?

It's simple.

Es muy simple.

Just remove any one bridge.

Solo quitamos cualquier puente.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Resulta que la historia creó un camino euleriano por sí misma.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

En la 2da Guerra Mundial, los soviéticos destruyeron dos puentes de la ciudad,

making a Eulerian path easily possible.

haciendo posible un camino euleriano.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Aunque, para ser justos, esa no era probablemente su intención.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Estos bombardeos casi borraron Königsberg del mapa,

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

y luego fue reconstruida como la ciudad rusa de Kaliningrado.

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Aunque Königsberg y sus siete puentes ya no estén con nosotros,

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

serán recordados en la historia por el acertijo aparentemente trivial

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

que llevo a la creación de un campo totalmente nuevo en las matemáticas.