How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

「ケーニヒスベルクの橋の問題」は数学をどのように変えたのか？ ― ダン・ファン・デア・フィーレン

翻訳: Takamitsu Hirono 校正: Misaki Sato

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

現代の地図でケーニヒスベルクを 見つけるのは不可能です

but one particular quirk in its geography

しかしこの街は １つの特徴的な地形により

has made it one of the most famous cities in mathematics.

数学の分野で 最も有名な街の１つになったのです

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

この中世ドイツの街はプレーゲル川の 両側にまたがっており

At the center were two large islands.

その中心には２つの島がありました

The two islands were connected to each other and to the river banks

２つの島と川岸はそれぞれ

by seven bridges.

７本の橋でつながっていました

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

数学者で後に近くの街の市長になった カール・ゴットリーブ・エーラは

grew obsessed with these islands and bridges.

これらの島と橋に関する

He kept coming back to a single question:

１つの問題に取り付かれるようになりました

Which route would allow someone to cross all seven bridges

「どの経路なら 同じ橋を２度渡ることなく

without crossing any of them more than once?

７本全ての橋を渡れるのだろう？」 というものです

Think about it for a moment.

ちょっと考えてみてください

7

７

6

６

5

５

4

４

3

３

2

２

1

１

Give up?

降参ですか？

You should.

当然です

It's not possible.

不可能なのです

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

一方 その理由の説明を試みる過程で 有名な数学者レオンハルト・オイラーは

to invent a new field of mathematics.

数学の新しい分野を生み出しました

Carl wrote to Euler for help with the problem.

カールは手紙を書き オイラーに助けを求めました

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

オイラーは最初はこの問題は 数学に無関係として片付けました

But the more he wrestled with it,

しかしこの問題と格闘するほど

the more it seemed there might be something there after all.

それ以上の何かがあるのではないかと 考えるようになりました

The answer he came up with had to do with a type of geometry

彼が出した答えは それまで存在しなかった新しい幾何学の分野

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

彼自身は「位置の幾何学」と呼び

now known as Graph Theory.

現在はグラフ理論というものに 関係していました

Euler's first insight

オイラーの最初の洞察は

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

どの経路で島や川岸を往来したかは

didn't actually matter.

関係がないということでした

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

このように地図上の４つの土地は

represented as a single point,

現在我々が頂点と呼ぶ

what we now call a node,

１つの点として

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

橋は頂点の間の直線 もしくは辺として単純化できます

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

そしてこの簡素化されたグラフは 各頂点の次数

That's the number of bridges each land mass touches.

つまり各地点につながる橋の数を 数えやすくします

Why do the degrees matter?

ではなぜ次数が重要なのでしょうか？

Well, according to the rules of the challenge,

このクイズのルールでは

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

旅人がある橋を通って １つの土地に到着したら

they would have to leave it via a different bridge.

他の橋を通って 出て行かなければなりません

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

これはルート上にある全ての頂点で 到着と出発のための橋が

must occur in distinct pairs,

対になる必要があるということです

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

すなわち個々の土地につながる橋の数は

must be even.

偶数でなければいけないということです

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

唯一例外が認められるのは

and end of the walk.

出発地点とゴール地点です

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

この図を見れば４箇所の頂点全てが 奇数の次数を持っていることは明らかです

So no matter which path is chosen,

したがってどのような道筋であっても

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

どこかの時点で橋は ２度渡らないといけないのです

Euler used this proof to formulate a general theory

オイラーはこの証明から ２つ以上の頂点を持つ全てのグラフに当てはまる

that applies to all graphs with two or more nodes.

一般理論を作りました

A Eulerian path that visits each edge only once

全ての辺を１度だけ通るオイラー路には

is only possible in one of two scenarios.

２つのシナリオしかありません

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

最初のシナリオは ２つの頂点だけが奇数の次数を持ち

meaning all the rest are even.

残りの頂点の次数が偶数のものです

There, the starting point is one of the odd nodes,

この場合には奇数の次数を持つ 頂点の１つが出発地点となり

and the end point is the other.

もう１つの頂点がゴール地点になります

The second is when all the nodes are of even degree.

２つ目のシナリオは全ての頂点が 偶数の次数を持つ場合です

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

この場合は出発地点とゴール地点は 同じ場所になり

which also makes it something called a Eulerian circuit.

オイラー閉路と呼ばれる回路を作ります

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

ではケーニヒスベルクで オイラー路を作るにはどうしたらよいでしょうか

It's simple.

答えは簡単です

Just remove any one bridge.

どれか橋を１本取り除けばいいのです

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

その後 歴史は自ら オイラー路を作りました

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

第二次世界大戦の最中に ソビエト空軍が街の２本の橋を破壊したため

making a Eulerian path easily possible.

オイラー路が簡単に作れるようになりました

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

公平を期して言えば ソビエトの目的は オイラー路ではなかったでしょう

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

これらの爆撃によって ケーニヒスベルクは正に地図から消し去られ

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

後日カリーニングラードという ロシアの街として再建されました

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

だから７本の橋があるケーニヒスベルクの街は もう存在しないかもしれませんが

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

他愛ないクイズから 数学の新しい分野を生み出した街として

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

歴史的に記憶されることでしょう