How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

ปริศนาสะพานเคอนิกส์แบร์กพลิกโฉมโลกคณิตศาสตร์ได้อย่างไร - แดน แวน เดอ วีเรน (Dan Van der Vieren)

Translator: Trinsit Wasinudomrod Reviewer: Vera Chicharito

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

คุณคงลำบากแน่ หากจะมองหา เคอนิกส์แบร์กบนแผนที่ยุคใหม่

but one particular quirk in its geography

แต่จุดหนึ่งที่น่าสนใจ ในภูมิศาสตร์ของมัน

has made it one of the most famous cities in mathematics.

ได้ทำให้มันเป็นหนึ่งในเมืองที่มี ชื่อเสียงที่สุดในโลกคณิตศาสตร์

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

เมืองเยอรมันยุคกลาง ตั้งอยู่บนสองฝั่งแม่น้ำพรีเกิล

At the center were two large islands.

ณ ใจกลางมีเกาะขนาดใหญ่ สองเกาะ

The two islands were connected to each other and to the river banks

เกาะทั้งสองนี้เชื่อมต่อถึงกัน และยังเชื่อมต่อกับฝั่งแม่น้ำ

by seven bridges.

ด้วยสะพานทั้งเจ็ด

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

นักคณิตศาสตร์ คาร์ล ก็อตลีบพ์ อีเลอ ผู้ต่อมาเป็นนายกเทศมนตรีเมืองใกล้ ๆ

grew obsessed with these islands and bridges.

หมกมุ่นอยู่กับเกาะและสะพานเหล่านี้

He kept coming back to a single question:

เขาคิดย้อนทวนถึงปัญหาอยู่ข้อเดียว

Which route would allow someone to cross all seven bridges

ต้องใช้เส้นทางไหนดีจึงจะ ข้ามสะพานได้ครบทั้งเจ็ด

without crossing any of them more than once?

โดยที่ไม่ข้ามซ้ำสะพานเดิม

Think about it for a moment.

ลองหยุดคิดกันดูสักครู่

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Give up?

ยอมแพ้แล้วหรือ

You should.

ก็น่าอยู่หรอก

It's not possible.

เพราะมันเป็นไปไม่ได้

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

แต่ความเพียรอธิบายสาเหตุ ทำให้ นักคณิตศาสตร์คนดัง ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

to invent a new field of mathematics.

สรรค์สร้างคณิตศาสตร์สาขาใหม่

Carl wrote to Euler for help with the problem.

คาร์ลเขียนจดหมายถึงออยเลอร์ ให้ช่วยไขปริศนา

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

ครั้งแรกออยเลอร์ละเลยคำถามนี้ เพราะไม่ใช่เรื่องของคณิตศาสตร์

But the more he wrestled with it,

แต่ยิ่งเขาครุ่นคิดถึงมันมากเท่าไร

the more it seemed there might be something there after all.

ก็ยิ่งดูเหมือนว่ามีอะไรสักอย่างอยู่ดี

The answer he came up with had to do with a type of geometry

คำตอบที่เขาค้นพบ เป็นเรื่องเกี่ยวกับเรขาคณิตชนิดหนึ่ง

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

ซึ่งยังไม่เคยมีมาก่อน เขาเรียกมันว่า เรขาคณิตของตำแหน่ง

now known as Graph Theory.

ปัจจุบันคือทฤษฎีกราฟ

Euler's first insight

ข้อสังเกตแรกของออยเลอร์

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

คือเส้นทางที่เลือกระหว่างการเข้าไปใน เกาะหรือฝั่งแม่น้ำและการออกจากที่นั่น

didn't actually matter.

อันที่จริงแล้วไม่ได้สำคัญนัก

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

ฉะนั้นจึงสามารถลดรูปแผนที่ให้ง่ายขึ้น โดยให้แต่ละผืนดินจากทั้งสี่แห่ง

represented as a single point,

ถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว

what we now call a node,

ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่า โนด

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

ด้วยเส้น หรือ เอ็ดจ์ เชื่อมระหว่างโนด เพื่อเป็นตัวแทนของสะพาน

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

และกราฟที่ง่ายขึ้นนี้ช่วยให้เรา นับดีกรีของแต่ละโนดได้ง่ายดาย

That's the number of bridges each land mass touches.

ดีกรี คือจำนวนสะพานที่แต่ละ ผืนดินสัมผัส

Why do the degrees matter?

ทำไมดีกรีจึงสำคัญน่ะหรือ

Well, according to the rules of the challenge,

ก็เพราะตามกฎของคำท้า

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

เมื่อนักเดินทางไปถึง ผืนดินหนึ่งด้วยสะพานหนึ่งแล้ว

they would have to leave it via a different bridge.

พวกเขาต้องออกจากผืนดินนั้น โดยใช้สะพานอื่น

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

ซึ่งก็คือ สะพานที่เข้าและออก จากแต่ละโนดในเส้นทางใดก็ได้

must occur in distinct pairs,

แต่ต้องมีเป็นคู่ ๆ ที่แตกต่างกัน

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

หมายความว่าจำนวนสะพาน ที่สัมผัสแต่ละผืนดินที่เดินผ่าน

must be even.

ต้องเป็นจำนวนคู่

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

มีเพียงข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ คือ ตำแหน่งของจุดเริ่มต้น

and end of the walk.

และจุดที่สิ้นสุดการเดิน

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

เมื่อมองไปที่กราฟ เป็นที่ชัดแจ้ง ว่า ทั้งสี่โนด มีดีกรีเป็นจำนวนคี่

So no matter which path is chosen,

ดังนั้น ไม่ว่าจะเลือกเส้นทางใด

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

เมื่อถึงจุดหนึ่ง จะต้องมีสะพาน สักแห่งที่ถูกข้ามซ้ำสองครั้ง

Euler used this proof to formulate a general theory

ออยเลอร์ได้ใช้บทพิสูจน์นี้ สร้างทฤษฎีทั่วไปขึ้นมา

that applies to all graphs with two or more nodes.

ซึ่งประยุกต์ใช้กับกราฟที่มี ตั้งแต่สองโนดขึ้นไปทั้งหมด

A Eulerian path that visits each edge only once

เส้นทางออยเลอร์ ซึ่งเดินผ่าน แต่ละเอ็ดจ์เพียงครั้งเดียว

is only possible in one of two scenarios.

มีเพียงหนึ่งในสองกรณีต่อไปนี้ เท่านั้นที่เป็นไปได้

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

กรณีแรก คือ เมื่อมีโนดที่มีดีกรี จำนวนคี่อยู่สองโนดพอดี

meaning all the rest are even.

หมายถึงโนดที่เหลือทั้งหมดมี ดีกรีจำนวนคู่

There, the starting point is one of the odd nodes,

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นคือ หนึ่งในสองโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

and the end point is the other.

และจุดสิ้นสุดคือ อีกโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

The second is when all the nodes are of even degree.

กรณีที่สอง คือ เมื่อโนดทั้งหมด มีดีกรีเป็นจำนวนคู่

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

ในกรณีนี้ เส้นทางออยเลอร์จะ เริ่มต้นและสิ้นสุดในตำแหน่งเดียวกัน

which also makes it something called a Eulerian circuit.

ซึ่งทำให้มันกลายเป็นสิ่งที่เรียกว่า วงจรออยเลอร์

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

แล้วเราจะสร้างเส้นทางออยเลอร์ ในเคอนิกส์แบร์กได้อย่างไร

It's simple.

มันง่ายมาก

Just remove any one bridge.

แค่เอาสะพานไหนก็ได้ออก ไปสักหนึ่งสะพาน

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

และปรากฏว่าประวัติศาสตร์ ได้สร้างเส้นทางออยเลอร์ของมันเอง

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

ในสงครามโลกครั้งที่ 2 กองทัพอากาศ โซเวียตทำลายสะพานเมืองไปสองแห่ง

making a Eulerian path easily possible.

ทำให้เส้นทางออยเลอร์ เป็นไปได้อย่างง่ายดาย

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

ซึ่งถ้าว่ากันตามจริงแล้ว นั่นอาจจะ ไม่ใช่ความตั้งใจของพวกเขาหรอก

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

การทิ้งระเบิดครั้งนั้นแทบจะกวาด เคอนิกส์แบร์กออกจากแผนที่ไปเลย

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

และได้สร้างใหม่ขึ้นในภายหลัง เป็นเมืองคาลินินกราดแห่งรัสเซีย

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

ดังนั้น แม้ว่าอาจไม่มีเคอนิกส์แบร์ก กับสะพานทั้งเจ็ดอีกต่อไปแล้ว

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

แต่จะเป็นที่จดจำไปชั่วประวัติศาสตร์ เพียงเพราะปริศนาหนึ่งที่ดูแสนธรรมดา

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

ซึ่งนำไปสู่การกำเนิด คณิตศาสตร์สาขาใหม่