How the Königsberg bridge problem changed mathematics - Dan Van der Vieren

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Chryssa R. Takahashi

You'd have a hard time finding Königsberg on any modern maps,

Θα δυσκολευτείτε να βρείτε το Κένινγκσμπεργκ στους σύγχρονους χάρτες,

but one particular quirk in its geography

αλλά μια ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του

has made it one of the most famous cities in mathematics.

το έκανε μία από τις πιο διάσημες πόλεις στα Μαθηματικά.

The medieval German city lay on both sides of the Pregel River.

Η μεσαιωνική γερμανική πόλη εκτεινόταν και στις δύο όχθες του ποταμού Πρέγκελ.

At the center were two large islands.

Στο κέντρο του βρίσκονταν δύο μεγάλα νησιά.

The two islands were connected to each other and to the river banks

Τα δύο νησιά συνδέονταν μεταξύ τους και με τις όχθες του ποταμού

by seven bridges.

με επτά γέφυρες.

Carl Gottlieb Ehler, a mathematician who later became the mayor of a nearby town,

Ο Καρλ Γκότλιμπ Έλερ, ένας μαθηματικός,

που αργότερα έγινε ο δήμαρχος μιας γειτονικής πόλης,

grew obsessed with these islands and bridges.

απέκτησε εμμονή με αυτά τα νησιά και τις γέφυρες.

He kept coming back to a single question:

Συνεχώς κατέληγε σε ένα απλό ερώτημα·

Which route would allow someone to cross all seven bridges

ποια διαδρομή θα επέτρεπε σε κάποιον να διασχίσει και τις επτά γέφυρες

without crossing any of them more than once?

χωρίς να περάσει από καμία περισσότερες από μία φορές;

Think about it for a moment.

Σκεφτείτε το για λίγο.

7

6

5

4

3

2

1

Give up?

Να το πάρει το ποτάμι;

You should.

Καλύτερα να το πάρει.

It's not possible.

Είναι αδύνατο.

But attempting to explain why led famous mathematician Leonhard Euler

Προσπαθώντας να εξηγήσει γιατί, ο διάσημος μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε

to invent a new field of mathematics.

στην εφεύρεση ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.

Carl wrote to Euler for help with the problem.

Ο Καρλ έγραψε στον Όιλερ ζητώντας βοήθεια για το πρόβλημα.

Euler first dismissed the question as having nothing to do with math.

Ο Όιλερ αρχικά απέρριψε την ερώτηση ως άσχετης με τα Μαθηματικά.

But the more he wrestled with it,

Αλλά όσο την πάλευε,

the more it seemed there might be something there after all.

τόσο φαινόταν ότι τελικά ίσως υπήρχε κάτι.

The answer he came up with had to do with a type of geometry

Η απάντηση που βρήκε είχε να κάνει με ένα είδος γεωμετρίας,

that did not quite exist yet, what he called the Geometry of Position,

που δεν υπήρχε ακόμα· κάτι που ονόμασε Γεωμετρία της Θέσης,

now known as Graph Theory.

που τώρα είναι γνωστή ως Θεωρία Γράφων.

Euler's first insight

Η πρώτη ενόραση του Όιλερ

was that the route taken between entering an island or a riverbank and leaving it

ήταν ότι η διαδρομή ανάμεσα στην είσοδο και την έξοδο σε ένα νησί ή όχθη

didn't actually matter.

δεν είχε σημασία.

Thus, the map could be simplified with each of the four landmasses

Έτσι, ο χάρτης μπορούσε να απλοποιηθεί με καθεμία από τις τέσσερις χερσαίες εκτάσεις

represented as a single point,

να αναπαρίστανται από ένα σημείο,

what we now call a node,

αυτό που σήμερα ονομάζουμε κόμβο,

with lines, or edges, between them to represent the bridges.

και γραμμές, ή ακμές, ανάμεσά τους να αναπαριστούν τις γέφυρες.

And this simplified graph allows us to easily count the degrees of each node.

Αυτό το απλοποιημένο γράφημα μάς επιτρέπει

να μετρήσουμε εύκολα τον βαθμό κάθε κόμβου,

That's the number of bridges each land mass touches.

δηλαδή τον αριθμό των γεφυρών που αγγίζει κάθε χερσαία έκταση.

Why do the degrees matter?

Γιατί έχουν σημασία οι βαθμοί;

Well, according to the rules of the challenge,

Σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος,

once travelers arrive onto a landmass by one bridge,

από τη στιγμή που ο ταξιδιώτης έφτασε σε μια χερσαία έκταση από μια γέφυρα,

they would have to leave it via a different bridge.

θα πρέπει να φύγει από μια διαφορετική γέφυρα.

In other words, the bridges leading to and from each node on any route

Με άλλα λόγια, οι γέφυρες, που οδηγούν προς και από κάθε κόμβο σε κάθε διαδρομή,

must occur in distinct pairs,

πρέπει να σχηματίζουν διακριτά ζευγάρια,

meaning that the number of bridges touching each landmass visited

που σημαίνει ότι το πλήθος των γεφυρών που ακουμπούν σε κάθε χερσαία έκταση

must be even.

πρέπει να είναι άρτιο.

The only possible exceptions would be the locations of the beginning

Οι μόνες δυνατές εξαιρέσεις θα μπορούσαν να είναι οι τοποθεσίες της εκκίνησης

and end of the walk.

και τερματισμού της διαδρομής.

Looking at the graph, it becomes apparent that all four nodes have an odd degree.

Αν δούμε το γράφημα, είναι φανερό ότι και οι τέσσερις κόμβοι έχουν περιττό βαθμό.

So no matter which path is chosen,

Έτσι, ανεξάρτητα από το ποια διαδρομή επιλεγόταν,

at some point, a bridge will have to be crossed twice.

κάποια στιγμή, μια γέφυρα θα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές.

Euler used this proof to formulate a general theory

Ο Όιλερ χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη για να διατυπώσει μια γενική θεωρία,

that applies to all graphs with two or more nodes.

που εφαρμόζεται σε όλα τα γραφήματα με δύο ή περισσότερους κόμβους.

A Eulerian path that visits each edge only once

Ένα μονοπάτι Όιλερ, που περνά από κάθε ακμή ακριβώς μία φορά

is only possible in one of two scenarios.

είναι δυνατό σε μία από τις δύο περιπτώσεις.

The first is when there are exactly two nodes of odd degree,

Η πρώτη είναι όταν υπάρχουν ακριβώς δύο κόμβοι με περιττό βαθμό,

meaning all the rest are even.

δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι είναι άρτιοι.

There, the starting point is one of the odd nodes,

Εκεί, το σημείο εκκίνησης είναι ένας από τους περιττούς κόμβους

and the end point is the other.

και το τερματικό σημείο είναι το άλλο.

The second is when all the nodes are of even degree.

Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό.

Then, the Eulerian path will start and stop in the same location,

Τότε το μονοπάτι Όιλερ ξεκινά και σταματά στην ίδια τοποθεσία,

which also makes it something called a Eulerian circuit.

που το κάνει κάτι που ονομάζεται κύκλωμα Όιλερ.

So how might you create a Eulerian path in Königsberg?

Πώς, λοιπόν, θα δημιουργούσατε ένα μονοπάτι Όιλερ στο Κένινγκσμπεργκ;

It's simple.

Είναι απλό.

Just remove any one bridge.

Απλά αφαιρέστε μια από τις γέφυρες.

And it turns out, history created a Eulerian path of its own.

Τελικά, η Ιστορία δημιούργησε ένα μονοπάτι Όιλερ από μόνη της.

During World War II, the Soviet Air Force destroyed two of the city's bridges,

Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου,

η Σοβιετική Αεροπορία κατέστρεψε δύο από τις γέφυρες της πόλης,

making a Eulerian path easily possible.

καθιστώντας το μονοπάτι Όιλερ δυνατό.

Though, to be fair, that probably wasn't their intention.

Αν και, για να είμαστε δίκαιοι, μάλλον δεν ήταν αυτή η πρόθεσή της.

These bombings pretty much wiped Königsberg off the map,

Αυτοί οι βομβαρδισμοί λίγο-πολύ έσβησαν το Κένινγκσμπεργκ από τον χάρτη

and it was later rebuilt as the Russian city of Kaliningrad.

και ξαναχτίστηκε αργότερα ως η ρωσική πόλη Καλίνινγκραντ.

So while Königsberg and her seven bridges may not be around anymore,

Έτσι, ενώ το Κένινγκσμπεργκ και οι επτά γέφυρές του δεν υπάρχουν πια,

they will be remembered throughout history by the seemingly trivial riddle

θα μείνουν για πάντα στην Ιστορία χάρη στον φαινομενικά τετριμμένο γρίφο

which led to the emergence of a whole new field of mathematics.

που οδήγησε στην εμφάνιση ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.