Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

المترجم: Hanan Zakaria المدقّق: Riyad Almubarak

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

مربعات "بيت موندريان" الفنان الهولندي عبارة عن رسوم تتخذ شكل المستطيل

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

ألهمت علماء الرياضيات لخوض تحدي ذو حدين.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

الأول، يجب أن نغطي مربع قماشي بالكامل بمستطيلات غير متداخلة.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

يجب أن تكون كلها مختلفة بحيث إذا استخدمنا 1×4، لن نستطيع استخدام 4×1 في بقعة أخرى

but a 2x2 rectangle would be fine.

أما عن المستطيل 2x2 فسيكون على ما يرام.

Let’s try that.

لنحاول فعل ذلك.

Say we have a canvas measuring 4x4.

لنقل مثلًا أن لدينا لوحة قماشية قياسها 4x4.

We can’t chop it directly in half,

لا نستطيع تقسيمة إلى قسمين مباشرةً،

since that would give us identical rectangles of 2x4.

لأن ذلك سيعطينا مستطيلين بقياس 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

وقد يعمل الخيار التالي: 3x4 and 1x4.

That was easy, but we’re not done yet.

كان ذلك سهلًا ولكن لم ننتهي بعد.

Now take the area of the largest rectangle,

الآن سنأخذ مساحة أكبر مستطيل،

and subtract the area of the smallest.

ونطرح منها مساحة أصغر مستطيل.

The result is our score,

والنتيجة هي ما كنا نريده.

and the goal is to get as low a score as possible.

وهو الحصول على أصغر رقم ممكن.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

المساحة الأكبر هو 12 والمساحة الأصغر هي 4،

giving us a score of 8.

وبذلك نحصل على النتيجة 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

لأننا لم نحاول الحصول على نتيجة أصغر في المحاولة الأولى،

we can probably do better.

يمكننا أن نعيد العملية مرة أخرى.

Let’s keep our 1x4

لنأخذ من جديد 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

ونجزء 3x4 إلى 3x3 وكذلك 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

الآن النتيجة ستصبح 9 ناقصًا 3 أو 6.

Still not optimal, but better.

مع ذلك ليست النتيجة المثالية ولكن أفضل.

With such a small canvas, there are only a few options.

بلوحة قماشية كهذه لدينا خيارات قليلة.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

ولكن لنرى ما الذي سيحدث لو أصبحت اللوحة أكبر.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

لنجرب 8x8: ما هي أقل نتيجة تستطيع الحصول عليها؟

Pause here if you want to figure it out yourself.

يمكنك إيقاف الفيديو هنا إن أردت حساب النتيجة بنفسك.

Answer in: 3

ستظهر الإجابة خلال:1 ث

Answer in: 2

الإجابة: 2 ث

Answer in: 1

الإجابة: 3 ث

To get our bearings, we can start as before:

لنستوعب المسألة لنبدأ بنفس الخطوات السابقة:

dividing the canvas roughly in two.

نقسم المربع إلى اثنين.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

سنحصل على مستطيل بقياس 5x8 ومساحته 40

and a 3x8 with area 24,

و مستطيل بقياس 3x8 وبمساحة 24

for a score of 16.

ونحصل على النتيجة 16.

That’s pretty bad.

ذلك يبدو سيئًا بعض الشيء.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

لنقسم المستطيل 5x8 إلى 5x5 و 5x3 وبهذا أصبح لدينا النتيجة 10.

Better, but still not great.

جيد ولكن ليس ما نريده.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

يمكننا أن نستمر بقسمة المستطيل الأكبر.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

ولكن ذلك سيعطينا الكثير من الأشكال المستطيلة المتناهية في الصغر،

which would increase the range between the largest and smallest.

وهذا سيوسع الفجوة بين المستطيل الأكبر و الأصغر فيها.

What we really want

ما نريده حقًا هو

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

أن نجد مكانًا لجميع الأشكال المستطيلة ضمن مساحة أصغر.

And since the total area of the canvas is 64,

ولأن المساحة الإجمالية لتلك اللوحة هي 64،

the areas need to add up to that.

لهذا يجب أن تتشاركها جميع المربعات في اللوحة.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

لنعمل قائمة بكل الأشكال المستطيلة الممكن عملها مع مساحاتها.

To improve on our previous score,

لنحصل على نتيجة أفضل من السابقة.

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

يمكننا أخذ مجموعة من القيم من 9 فأقل

and adding up to 64.

ونضيفها إلى 64.

You’ll notice that some values are left out

ستلاحظ أنه تم استبعاد بعض القيم

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

لأن بعض الأشكل المستطيلة مثل 1x13 أو 2x9 لم تجد لها مكانًا في اللوحة.

You might also realize

وقد تلاحظ أيضًا

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

أنك إذا استخدمت أحد تلك الأشكال المستطيلة ومساحتها برقم فردي مثل 5 أو 9 أو 15

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

ستحتاج لإستخدام مستطيل آخر لديه رقم فردي للحصول على مجموع برقم زوجي.

With all that in mind, let’s see what works.

واعتمادً على ما سبق لنجرب تطبيق ذلك.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

إذا بدأنا بمساحة 20 أو أكثر سنحصل على النتيجة بسرعة أكبر.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

ولكن نستطيع الحصول على 64 باستخدام أشكال مستطيلة من فئة 14-18

leaving out 15.

بحيث يتبقى لنا 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

ومع الأسف يستحيل أن نجد مكانًا له.

Using the 2x7 leaves a gap

إذا أخذنا 2x7 سيخلف ذلك بقة خالية.

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

وهذا البقة لا تكفي إلا لمستطيل بعرض 1 فقط.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

لنأخذ رقمًا أقل، الفئة التالية التي قد تجدي نفعًا من 8 إلى 14

leaving out the 3x3 square.

ويتبقى لدينا مربع 3x3.

This time, the pieces fit.

هذه المرة، جميع القطع تناسبت في مكانها.

That’s a score of 6.

وبهذا تكون النتيجة 6.

Can we do even better?

أنستطيع الحصول على رقم أفضل؟

No.

لا.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

نستطيع الحصول على نتيجة مشابهة بإخراج المربع 2x7 والمربع 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

واستبدالهما بأخرى بمقياس 3x3 و 1x7 و 1x6.

But if we go any lower down the list,

ولكن إذا أردنا الذهاب لأسفل القائمة،

the numbers become so small

ستصبح الأرقام أصغر وأصغر.

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

وسنحتاج لفئة بأحجام أوسع لتغطية اللوحة

which would increase the score.

وهذا سيؤدي إلى زيادة القيمة النهائية.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

ليس هناك أي خدعة أو معادلة في الأمر إنه شيء بديهي بعض الشيء

It's more art than science.

فهو عبارة عن فن أكثر من كونه علمًا.

And for larger grids,

وبالنسبة للمربعات الأكبر،

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

فإن علماء الرياضيات غير متأكدين ما إذا قد حصلوا على أصغر قيمة ممكنة.

So how would you divide a 4x4,

كيف ستجزأ لوحة بمقياس 4x4

10x10,

أو 10x10

or 32x32 canvas?

أو 32x32 ؟

Give it a try and post your results in the comments.

يمكنك المحاولة وضع النتيجة في تعليق تحت الفيديو.