Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Tradutor: Cauê Hess Revisor: Leonardo Silva

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

As pinturas retangulares e abstratas do artista holandês Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

inspiraram matemáticos a criar um desafio duplo.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Primeiro, precisamos cobrir uma tela quadrada com retângulos não sobrepostos.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Todos devem ser únicos... se temos um 1x4 não podemos usar um 4x1 em outro lugar,

but a 2x2 rectangle would be fine.

mas um retângulo 2x2 seria possível.

Let’s try that.

Vamos tentar.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Vamos supor que temos uma tela 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Não podemos dividi-la diretamente em dois,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

uma vez que isso nos daria retângulos idênticos de 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Mas a opção mais próxima - 3x4 e 1x4 - funcionaria.

That was easy, but we’re not done yet.

Essa foi fácil, mas não terminamos ainda.

Now take the area of the largest rectangle,

Agora pegue a área do maior retângulo,

and subtract the area of the smallest.

e subtraia pela área do menor.

The result is our score,

O resultado é nosso escore,

and the goal is to get as low a score as possible.

e o objetivo é obter o menor escore possível.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Aqui, a maior área é 12 e a menor é 4,

giving us a score of 8.

o que nos dá um escore de 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Como não tentamos obter um baixo escore dessa vez,

we can probably do better.

provavelmente podemos melhorar.

Let’s keep our 1x4

Vamos manter o retângulo 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

enquanto dividimos o 3x4 em um retângulo 3x3 e um 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Agora nosso escore é 9 menos 3, ou 6.

Still not optimal, but better.

Ainda não o ideal, mas é um escore melhor.

With such a small canvas, there are only a few options.

Com uma tela tão pequena, existem muito poucas opções.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Vamos ver o que acontece quando usamos uma tela maior.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Tente agora uma 8x8. Qual o menor escore que você pode obter?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Dê um pause aqui se você quer descobrir por conta própria.

Answer in: 3

Resposta em: 3

Answer in: 2

Resposta em: 2

Answer in: 1

Resposta em: 1

Por exemplo, podemos começar como antes:

To get our bearings, we can start as before:

dividing the canvas roughly in two.

dividindo a tela mais ou menos na metade.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Isso nos dá um retângulo 5x8 com área 40

and a 3x8 with area 24,

e um 3x8 com área 24,

for a score of 16.

para um escore de 16.

That’s pretty bad.

É um escore bem ruim.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Dividindo o retângulo 5x8 em um 5x5 e um 5x3 nos dá um escore de 10.

Better, but still not great.

Melhor, mas ainda não é o ideal.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Nós poderíamos apenar seguir dividindo o maior retângulo.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Mas isso nos deixaria com retângulos cada vez menores,

which would increase the range between the largest and smallest.

o que aumentaria a diferença de área entre o maior e o menor retângulo.

What we really want

O que nós realmente queremos

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

é que todos os nossos retângulos tenham valores de área próximos.

And since the total area of the canvas is 64,

E já que a área total de nossa tela é 64,

the areas need to add up to that.

a soma das áreas precisam ser igual a esse valor.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Vamos fazer uma lista de possíveis retângulos e suas áreas.

To improve on our previous score,

Para melhorar nosso escore anterior,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

podemos escolher uma série de valores iguais ou inferiores a 9

and adding up to 64.

e ir somando as áreas até 64.

You’ll notice that some values are left out

Você notará que alguns valores não servem

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

porque retângulos como 1x13 ou 2x9 não cabem na tela.

Você também irá perceber

You might also realize

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

que se usarmos um dos retângulos com área ímpar como 5, 9 ou 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

teremos que usar outro retângulo com área ímpar para obter uma soma par.

With all that in mind, let’s see what works.

Com isso em mente, vamos ver o que funciona.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Começar com uma área de 20 ou mais nos coloca além do limite rapidamente.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Mas nós podemos chegar a 64 usando retângulos com áreas entre 14-18,

leaving out 15.

deixando de lado o de área 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Infelizmente, não há uma maneira de acomodá-los na tela.

Using the 2x7 leaves a gap

Usar o 2x7 deixa um vazio,

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

que só pode ser preenchido por um retângulo com largura 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Mais abaixo, a próxima combinação que funciona são áreas entre 8 e 14,

leaving out the 3x3 square.

deixando de lado o quadrado 3x3.

This time, the pieces fit.

Dessa vez, as peças se encaixam.

That’s a score of 6.

E resulta em um escore de 6.

Can we do even better?

Podemos fazer ainda melhor?

No.

Não.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Nós podemos chegar ao mesmo escore nos livrando dos retângulos 2x7 e 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

e substituindo-os por um 3x3, 1x7 e 1x6.

But if we go any lower down the list,

Mas se pegarmos uma série menor de áreas em nossa lista,

the numbers become so small

os números se tornam tão pequenos

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

que precisaríamos de uma variedade maior de tamanhos para cobrir a tela,

which would increase the score.

o que aumentaria o escore.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Não há truques ou fórmulas aqui, apenas um pouco de intuição.

It's more art than science.

Isso é mais arte do que ciência.

And for larger grids,

E para telas maiores,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

mesmo os matemáticos não têm certeza se já encontraram os menores escores possíveis.

So how would you divide a 4x4,

Então, como você dividiria uma tela 4x4,

10x10,

10x10,

or 32x32 canvas?

ou 32x32?

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