Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Translator: Aldri Fajar Muhammad Reviewer: Ade Indarta

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Lukisan persegi abstrak yang dilukis oleh seniman Belanda Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

memicu para matematikawan membuat tantangan dua lipatan.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Pertama, kita isi penuh kanvas sama sisi dengan persegi tanpa tumpang tindih.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Persegi harus beragam, jadi memakai 1x4 berarti tanpa ukuran 4x1 di tempat lain,

but a 2x2 rectangle would be fine.

namun ukuran 2x2 diperbolehkan.

Let’s try that.

Mari kita coba.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Misal kita memiliki kanvas 4x4,

We can’t chop it directly in half,

kita tak bisa langsung membagi dua sama rata

since that would give us identical rectangles of 2x4.

karena hanya akan menghasilkan persegi 2x4 yang sama.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

namun kita bisa memakai opsi 3x4 dan 1x4.

That was easy, but we’re not done yet.

Masih mudah, namun kita belum selesai.

Now take the area of the largest rectangle,

Sekarang hitunglah selisih luasan persegi terbesar

and subtract the area of the smallest.

dengan luasan persegi terkecil.

The result is our score,

Hasilnya merupakan skor kita.,

and the goal is to get as low a score as possible.

dan tujuannya adalah berusaha mendapat skor sekecil mungkin.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Di sini, luasan terbesar bernilai 12, dan terkecil bernilai 4,

giving us a score of 8.

memberi kita skor 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Karena kita belum berusaha mendapat skor terkecil,

we can probably do better.

mungkin selanjutnya lebih baik.

Let’s keep our 1x4

Tetap gunakan persegi 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

sembari memecah 3x4 menjadi 3x3 dan 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Kini skor kita adalah 9 kurang 3, atau 6.

Still not optimal, but better.

Belum optimal, namun, lebih baik.

With such a small canvas, there are only a few options.

Dengan kanvas kecil, pilihan yang ada masih terbatas.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Namun mari saksikan saat ukuran kanvas membesar.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Coba ukuran 8x8; berapa skor terendah yang bisa kamu dapat?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Hentikan sejenak jika ingin mencari jawabannya sendiri.

Answer in: 3

Jawaban dalam: 3

Answer in: 2

2

Answer in: 1

1

To get our bearings, we can start as before:

Sebagai pondasi, kita mulai seperti sebelumnya:

dividing the canvas roughly in two.

membagi kanvas menjadi dua bagian.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Memberikan kita persegi 5x8 dengan luasan 40

and a 3x8 with area 24,

dan ukuran 3x8 dengan luas 24,

for a score of 16.

menjadikan skor 16.

That’s pretty bad.

Cukup buruk.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Membagi ukuran 5x8 menjadi 5x5 dan 5x3 memberi kita skor 10.

Better, but still not great.

Lebih baik, namun belum cukup.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Kita bisa terus membagi persegi terbesar.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Namun hanya akan menambah jumlah persegi kecil,

which would increase the range between the largest and smallest.

yang dapat menambah rentang antara persegi terbesar dan terkecil.

What we really want

Yang kita inginkan adalah

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

semua luas persegi kita memberikan rentang luas yang kecil.

And since the total area of the canvas is 64,

Dan karena luas keseluruhan kanvas adalah 64,

the areas need to add up to that.

total luas tiap persegi haruslah berjumlah sama.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Mari kita susun daftar persegi dan luasan yang memungkinkan.

To improve on our previous score,

Untuk memperbaiki skor sebelumnya,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

kita dapat memilih rentang nilai 9 atau kurang

and adding up to 64.

dan berjumlah hingga 64.

You’ll notice that some values are left out

Kamu akan sadar beberapa nilai akan terhapus

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

sebab persegi seperti 1x13 atau 2x9 tidak akan muat d kanvas.

You might also realize

Kamu mungkin juga sadar

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

jika memakai salah satu persegi dengan luas ganjil seperti 5, 9 atau 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

kamu perlu persegi berluasan ganjil pula untuk mendapat total nilai genap.

With all that in mind, let’s see what works.

Dengan tiap pertimbangan tadi, mari kita uji.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Memulai dengan luas 20 atau lebih membuat nilainya naik drastis.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Namun kita dapat menahan nilai di angka 64 dengan luas persegi antara 14-18,

leaving out 15.

kecuali 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Sayangnya, tak mungkin membuatnya muat.

Using the 2x7 leaves a gap

menggunakan 2x7 menyisakan celah

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

yang hanya dapat diisi dengan persegi dengan lebar 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Semakin turun, rentang selanjutnya antara 8 hingga 14,

leaving out the 3x3 square.

kecuali persegi 3x3.

This time, the pieces fit.

Kali ini, potongannya muat.

That’s a score of 6.

Skor kali ini adalah 6.

Can we do even better?

Bisakah lebih baik?

No.

Tidak.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Kita mendapat nilai sama dengan membuang 2x7 dan 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

dan menggantinya dengan 3x3, 1x7, dan 1x6.

But if we go any lower down the list,

Namun jika kita mencoba lebih jauh dalam daftar,

the numbers become so small

tiap angka semakin kecil

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

hingga membutuhkan ukuran kanvas yang lebih lebar,

which would increase the score.

yang mampu menaikkan skor.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Tak ada trik atau cara cepat di sini -- hanya sedikit intuisi.

It's more art than science.

Lebih condong ke seni daripada sains.

And for larger grids,

Untuk bidang yang lebih besar,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

ahli matematika belum yakin apakah mereka telah mendapat skor terkecil.

So how would you divide a 4x4,

Jadi bagaimana kamu membagi kanvas 4x4,

10x10,

10x10,

or 32x32 canvas?

atau 32x32?

Give it a try and post your results in the comments.

Cobalah dan kirim hasilmu di kolom komentar.