Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Fordító: Andi Vida Lektor: Reka Lorinczy

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

A holland festő, Piet Mondrian absztrakt négyszög-festményei

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

kettős feladvány megalkotására késztették a matematikusokat.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Először fedjünk le egy négyzet alakú vásznat egymást nem átfedő téglalapokkal.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Nem lehet két egyforma: 1x4-t felhasználva már nem tehetünk le 4x1-est máshova,

but a 2x2 rectangle would be fine.

de a 2x2-es négyzet megfelelő.

Let’s try that.

Próbáljuk ki.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Tegyük fel, hogy vásznunk mérete 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Nem vághatjuk félbe,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

mert akkor két egyforma téglalapot kapunk.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

A következő lehetséges opció: – 3x4 és 1x4 – tökéletes.

That was easy, but we’re not done yet.

Ez könnyű volt, de még nem végeztünk.

Now take the area of the largest rectangle,

Most vegyük a legnagyobb téglalap területét,

and subtract the area of the smallest.

és vonjuk ki belőle a legkisebb területet.

The result is our score,

Az eredmény meghatároz egy pontszámot,

and the goal is to get as low a score as possible.

a cél, hogy ez a lehető legkisebb legyen.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Esetünkben a legnagyobb terület 12, a legkisebb 4,

giving us a score of 8.

a pontszámunk tehát 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Mivel ezúttal nem törekedtünk alacsony pontszámra,

we can probably do better.

esetleg találhatunk jobb megoldást is.

Let’s keep our 1x4

Tartsuk meg az 1x4-es téglalapot,

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

és daraboljuk fel a 3x4-est egy 3x3-ra és egy 3x1-re.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Így a pontszámunk: 9 - 3 = 6.

Still not optimal, but better.

Még mindig nem tökéletes, de valamivel már jobb.

With such a small canvas, there are only a few options.

Ilyen kis vászonnal csak kevés lehetőségünk van.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

De mi történik nagyobb vászon esetében?

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Nézzünk egy 8x8-ast: mi lehet az elérhető legkisebb pontszám?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Ha egyedül akarod megfejteni, itt állj meg. Visszaszámlálás:

Answer in: 3

három,

Answer in: 2

kettő,

Answer in: 1

egy.

To get our bearings, we can start as before:

Ráhangolódásképpen kezdjük úgy, mint az előbb:

dividing the canvas roughly in two.

nagyjából osszuk ketté a vásznat.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Vegyünk egy 5x8-as téglalapot, a területe 40,

and a 3x8 with area 24,

és egy 3x8-ast, melynek területe 24,

for a score of 16.

a különbség – tehát pontszámunk – 16.

That’s pretty bad.

Ez elég rosszul hangzik.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Osszuk fel az 5x8-ast egy 5x5-ös négyzetre és egy 5x3-as téglalapra, a pontszám 10.

Better, but still not great.

Ez már jobb, de még mindig nem az igazi.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Feloszthatjuk a legnagyobb téglalapot is.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

De így egyre kisebb téglalapokat kapnánk,

which would increase the range between the largest and smallest.

amik növelnék a legnagyobb és a legkisebb közti távolságot.

What we really want

Igazából arra törekszünk,

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

hogy minden négyszögünk kis távolságon belül legyen.

And since the total area of the canvas is 64,

És mivel a vászon teljes területe 64,

a területek összege is pontosan ennyi kell, hogy legyen.

the areas need to add up to that.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Írjunk egy listát a lehetséges négyszögekről és területekről.

To improve on our previous score,

Az előző pontszám javításához

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

megpróbálhatunk olyan értéktartományt találni,

and adding up to 64.

ami kisebb vagy egyenlő, mint 9, és 64 az összege.

You’ll notice that some values are left out

Látni fogjuk, hogy egyes értékek kiesnek,

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

mert például az 1x13 vagy 2x9 területű téglalapok kilógnak a vászonról.

You might also realize

Az is könnyen belátható,

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

hogy ha az egyik felhasznált téglalap páratlan területű: 5, 9 vagy 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

akkor a végösszeghez kell egy másik páratlan is.

With all that in mind, let’s see what works.

Mindezt figyelembe véve lássuk, mi a megoldás.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Ha a terület nagyobb vagy egyenlő mint 20: kifutunk a rendelkezésünkre álló térből.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

A 14-18 közti területű téglalapokkal viszont elérhetjük a 64-et,

leaving out 15.

kihagyva a 15-öt.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

De ezeket sajnos nem tudjuk összeilleszteni.

Using the 2x7 leaves a gap

A 2x7-es terület olyan rést hagy,

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

ami csak 1 szélességű négyszöggel tölthető ki.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

További csökkentéssel a 8-14 közti területek a következő lehetőségeink,

leaving out the 3x3 square.

kivéve a 3x3-as négyzetet.

This time, the pieces fit.

Ez esetben a darabok összeillenek.

That’s a score of 6.

Ez a pontszám 6.

Can we do even better?

Van-e jobb eredmény is?

No.

Nincs.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Ha a 2x7-es és 1x8-as téglalapok helyébe 3x3, 1x7 és 1x6-osokat teszünk le,

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

akkor is ugyanez a pontszám jön ki.

But if we go any lower down the list,

Ha viszont még lejjebb megyünk a listán,

the numbers become so small

a számok már túl kicsik lesznek,

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

így csak nagyobb területű négyszögekkel tudnánk kiegészíteni őket,

which would increase the score.

és ez túlzottan megnövelné a pontszámot.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Ennek a feladványnak nincs trükkje, nincs képlete, csak érzéssel oldható meg.

It's more art than science.

Inkább művészet, mint tudomány.

And for larger grids,

Nagyobb rácsoknál pedig még a képzett matematikusok sem biztosak abban,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

hogy megtalálták a lehető legkisebb pontszámokat.

So how would you divide a 4x4,

Hogyan osztunk fel tehát egy 4x4-es,

10x10,

10x10-es

or 32x32 canvas?

vagy 32x32-es vásznat?

Give it a try and post your results in the comments.

Próbáld ki, és posztold az eredményeket kommentben!