Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Translator: sadegh zabihi Reviewer: Behdad Khazaeli

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

نقاشی مستطیلی و انتزاعی هنرمند هلندی پیت ماندریان

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

الهام بخش ریاضی‌دانان بوده تا چالشی دو-تایی را ایجاد کنند.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

اول، باید یک بوم مربعی را با مستطیل‌هایی که هم‌پوشی ندارند کامل بپوشانیم.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

همه باید یکتا باشند، اگر از ۴×۱ استفاده کنیم، نمی‌توانیم از ۱×۴ در جای دیگر استفاده کنیم،

but a 2x2 rectangle would be fine.

اما مستطیل ۲×۲ مشکلی ندارد.

Let’s try that.

بیایید آن را امتحان کنیم.

Say we have a canvas measuring 4x4.

مثلاً بومی به ابعاد ۴×۴ داریم.

We can’t chop it directly in half,

نمی‌توانیم مستقیماً آن را نصف کنیم،

since that would give us identical rectangles of 2x4.

چون به ما دو مستطیل یکسان ۴×۲ می‌دهد.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

اما نزدیک‌ترین گزینه بعدی - ۴×۳ و ۴×۱ - کار می‌کند.

That was easy, but we’re not done yet.

این ساده بود، اما هنوز تمام نشده است.

Now take the area of the largest rectangle,

حالا مساحت بزرگترین مستطیل را حساب کنید،

and subtract the area of the smallest.

و مساحت کوچکترین را از آن کم کنید.

The result is our score,

نتیجه امتیاز ماست،

and the goal is to get as low a score as possible.

و هدف به دست آوردن کمترین امتیاز ممکن است.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

اینجا، بزرگترین مساحت ۱۲ و کوچکترین ۴ است،

giving us a score of 8.

و امتیاز ما می‌شود ۸.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

از آنجا که این بار نمی‌خواستیم امتیاز پایینی به دست بیاوریم،

we can probably do better.

احتمالاً می‌توانیم بهتر کار کنیم.

Let’s keep our 1x4

بیایید ۴×۱ را نگه داریم

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

و ۴×۳ را به ۳×۳ و ۱×۳ تبدیل کنیم.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

حالا امتیاز ما ۹ منهای ۳، یعنی ۶ است.

Still not optimal, but better.

هنوز بهینه نیست، اما بهتر شد.

With such a small canvas, there are only a few options.

با چنین بوم کوچکی، تنها چند انتخاب وجود دارد.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

اما بیایید ببینیم چه می‌شود اگر بوم را بزرگتر کنیم.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

با یک بوم ۸×۸؛ کمترین امتیازی که می‌توانید بگیرید چند است؟

Pause here if you want to figure it out yourself.

اگر می‌خواهید خودتان معما را حل کنید ویدیو را اینجا متوقف کنید.

Answer in: 3

جواب در: ۳

Answer in: 2

جواب در: ۲

Answer in: 1

جواب در: ۱

To get our bearings, we can start as before:

برای اینکه حساب دستمان بیاید می‌توانیم مثل قبل شروع کنیم:

dividing the canvas roughly in two.

تقسیم تقریبی بوم به دو قسمت.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

این به ما یک مستطیل ۸×۵ با مساحت ۴۰

and a 3x8 with area 24,

و یک مستطیل ۸×۳ با مساحت ۲۴ می‌دهد،

for a score of 16.

و امتیاز می‌شود ۱۶.

That’s pretty bad.

خیلی بد است.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

با تقسیم آن ۸×۵ به یک ۵×۵ و یک ۵×۳ امتیاز به ۱۰ می‌رسد.

Better, but still not great.

بهتر شد، اما هنوز عالی نیست.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

می‌توانیم همین طور به تقسیم بزرگترین مستطیل ادامه بدهیم.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

اما این کار ممکن است مستطیل‌های کوچکی برای ما باقی بگذارد،

which would increase the range between the largest and smallest.

که اختلاف بین بزرگترین و کوچکترین را بیشتر کنند.

What we really want

چیزی که واقعاً می‌خواهیم

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

این است که مساحت همه مستطیل‌ها در یک بازه کوچک باشد.

And since the total area of the canvas is 64,

و از آنجا که مساحت کل بوم ۶۴ است،

the areas need to add up to that.

جمع مساحت‌ها باید با آن برابر شود.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

بیایید فهرستی از مستطیل‌ها و مساحت‌های ممکن ایجاد کنیم.

To improve on our previous score,

برای بهتر کردن امتیاز قبلی،

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

می‌توانیم بازه‌ای حدوداً برابر با ۹ یا کمتر انتخاب کنیم

and adding up to 64.

و جمع آنها باید ۶۴ بشود.

You’ll notice that some values are left out

می‌بینید که بعضی از مقادیر کنار گذاشته می‌شوند

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

زیرا مستطیل‌هایی مثل ۱۳×۱ یا ۹×۲ روی بوم جا نمی‌شوند.

You might also realize

همچنین متوجه خواهید شد

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

اگر مستطیلی با مساحت فرد مثل ۵، ۹ یا ۱۵ را انتخاب کنید،

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

باید یک مستطیل با مساحت فرد دیگر هم انتخاب کنید تا جمع آنها زوج شود.

With all that in mind, let’s see what works.

با در ذهن داشتن همه این‌ها، ببینیم کدام مناسب است.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

با شروع کردن از مساحت ۲۰ یا بیشتر سریع حد را رد می‌کنیم.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

اما می‌توانیم با مستطیل‌هایی در بازه ۱۸-۱۴

leaving out 15.

غیر از ۱۵ به ۶۴ برسیم.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

متاسفانه، هیچ راهی برای جا دادن آنها وجود ندارد.

Using the 2x7 leaves a gap

اگاز ۷×۲ استفاده کنیم یک جای خالی باقی می‌ماند

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

که فقط با مستطیلی به عرض ۱ پر می‌شود.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

پایین‌تر که بیاییم، مستطیل‌هایی در بازه ۱۴-۸ هم مناسب هستند،

leaving out the 3x3 square.

غیر از مستطیل ۳×۳.

This time, the pieces fit.

این بار قطعات جا می‌شوند.

That’s a score of 6.

امتیاز می‌شود ۶.

Can we do even better?

می‌توانیم بهتر هم کار کنیم؟

No.

نه.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

می‌توانیم همین امتیاز را با بیرون آوردن ۷×۲ و ۸×۱

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

و جایگزین کردن آنها با یک ۳×۳، ۷×۱ و ۶×۱ به دست بیاوریم.

But if we go any lower down the list,

اما اگر باز هم در فهرست پایین‌تر برویم،

the numbers become so small

اعداد آن‌قدر کوچک می‌شوند

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

که به بازه بزرگ‌تری از ابعاد برای پوشاندن بوم نیاز داریم،

which would increase the score.

که ممکن است امتیاز را بالاتر ببرد.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

این هیچ ترفند یا فرمولی ندارد - فقط کمی فراست.

It's more art than science.

بیشتر هنر است تا علم.

And for larger grids,

و برای شبکه‌های بزرگتر،

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

ریاضی‌دانان متخصص هم مطمئن نیستند کمترین امتیاز ممکن را به دست آورده باشند.

So how would you divide a 4x4,

خوب چطور یک بوم ۴×۴،

10x10,

۱۰×۱۰،

or 32x32 canvas?

یا ۳۲×۳۲ را تقسیم می‌کنید؟

Give it a try and post your results in the comments.

تلاش‌تان را بکنید و نتیجه را در قسمت نظرات اعلام کنید.