Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Переводчик: Sofya Pirogova Редактор: Yulia Kallistratova

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Абстрактные прямоугольные картины голландского художника Пита Мондриана

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

вдохновили математиков на создание двойной задачи.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Сначала нужно заполнить квадратный холст непересекающимися прямоугольниками,

соотношения сторон которых уникальны.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

То есть если у нас уже есть 1х4, то нельзя в другом месте использовать 4x1.

but a 2x2 rectangle would be fine.

Но можно использовать прямоугольник 2х2.

Let’s try that.

Давайте попробуем.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Например, у нас есть поле 4х4.

We can’t chop it directly in half,

Мы не можем разделить его ровно на два,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

потому что получим два одинаковых прямоугольника 2х4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Тогда решением будут прямоугольники 3х4 и 1х4.

That was easy, but we’re not done yet.

Это было легко, но мы ещё не закончили.

Now take the area of the largest rectangle,

Теперь возьмём площадь большего прямоугольника

and subtract the area of the smallest.

и вычтем из него площадь наименьшего.

The result is our score,

Результат — это разница,

and the goal is to get as low a score as possible.

и наша цель — получить разницу как можно меньше.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Здесь наибольшая площадь равна 12, а наименьшая — 4,

giving us a score of 8.

получим разницу 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Поскольку мы не пытались найти наименьшую разницу в первый раз,

we can probably do better.

давайте продолжим искать её.

Let’s keep our 1x4

Оставим прямоугольник 1х4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

и разделим наш 3х4 на 3х3 и 3х1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Теперь наша разница — 9 минус 3, или 6.

Still not optimal, but better.

Всё ещё недостаточно, но уже лучше.

With such a small canvas, there are only a few options.

На таком маленьком полотне вариантов решения не так много.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Но посмотрим, что произойдёт, если взять холст побольше.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Попробуйте поле 8х8, какую минимальную разницу вы сможете получить?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Остановите видео, если вы хотите решить задачу самостоятельно.

Answer in: 3

Ответ через: 3

Answer in: 2

Ответ через: 2

Answer in: 1

Ответ через: 1

To get our bearings, we can start as before:

Чтобы решить, мы можем начать, как и раньше,

dividing the canvas roughly in two.

разделив холст примерно на две части.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Это даст нам прямоугольник размером 5x8 с площадью 40

and a 3x8 with area 24,

и прямоугольник 3х8 с площадью 24

for a score of 16.

с разницей между ними 16.

That’s pretty bad.

Это довольно-таки плохо.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Разделив 5x8 на 5x5 и 5x3, мы получим разницу 10.

Better, but still not great.

Уже лучше, но всё ещё не идеально.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Мы могли бы продолжать делить самый большой прямоугольник.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Но тогда мы получили бы крошечные прямоугольники,

which would increase the range between the largest and smallest.

что увеличило бы разницу между самым большим и самым маленьким.

What we really want

Что нам нужно,

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

это наименьшая разница площадей между прямоугольниками.

And since the total area of the canvas is 64,

А так как общая площадь холста 64,

the areas need to add up to that.

то сумма площадей должна составлять 64.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Сделаем список возможных прямоугольников и площадей.

To improve on our previous score,

Чтобы улучшить наш предыдущий результат,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

мы можем выбрать диапазон значений от 9 и меньше

and adding up to 64.

и в сумме составляющих 64.

You’ll notice that some values are left out

Вы заметите, что некоторые значения пропущены,

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

потому что прямоугольники вроде 1x13 или 2x9 не помещаются на холсте.

You might also realize

Вы также можете заметить,

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

что используя прямоугольник с нечётной площадью 5, 9 или 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

придётся взять прямоугольник с нечётной площадью, чтобы получить чётную сумму.

With all that in mind, let’s see what works.

Имея это в виду, посмотрим, что у нас получится.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Начиная с площади 20 или больше, мы слишком быстро выйдем за пределы.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Но мы можем получить 64, используя прямоугольники в диапазоне от 14 до 18,

leaving out 15.

пропустив 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

К сожалению, их никак не разместить на холсте.

Using the 2x7 leaves a gap

Используя 2x7, мы получим пробел,

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

который может быть заполнен лишь прямоугольником шириной 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Двигаясь вниз, получим следующий диапазон от 8 до 14,

leaving out the 3x3 square.

пропуская квадрат 3х3.

This time, the pieces fit.

В этот раз кусочки влезают.

That’s a score of 6.

Получится разница 6.

Can we do even better?

Можем ли мы получить лучший результат?

No.

Нет.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Мы можем получить тот же результат, выкинув 2x7 и 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

и заменив их на 3х3, 1х7 и 1х6.

But if we go any lower down the list,

Но если мы продолжим ещё ниже по списку,

the numbers become so small

числа становятся слишком маленькими,

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

так что потребуется больший диапазон для покрытия холста,

which would increase the score.

и это увеличит разницу.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Здесь нет трюка или формулы — всего лишь немного интуиции.

It's more art than science.

Это больше искусство, чем наука.

And for larger grids,

И для большей сетки

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

эксперты не уверены в том, что они нашли самую маленькую возможную разницу.

So how would you divide a 4x4,

А как вы разделите холсты 4х4,

10x10,

10х10

or 32x32 canvas?

или 32х32?

Give it a try and post your results in the comments.

Попробуйте и оставьте свои результаты в комментариях!