Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: António Ribeiro

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

As pinturas abstratas e retangulares do artista holandês Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

inspiraram os matemáticos a criar um duplo desafio.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Primeiro, temos que cobrir totalmente uma tela quadriculada

com quadriláteros que não se sobreponham.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Todos eles têm que ser diferentes.

Assim, se usares um com 1x4, não podes usar outro igual noutro local

but a 2x2 rectangle would be fine.

mas podes usar um retângulo com 2x2.

Let’s try that.

Vamos experimentar.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Digamos que temos uma tela que mede 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Não podemos dividi-la ao meio, diretamente,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

porque isso dar-nos-ia retângulos iguais com 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Mas a opção mais próxima - 3x4 e 1x4 - funciona.

That was easy, but we’re not done yet.

Isto foi fácil, mas ainda não acabámos.

Now take the area of the largest rectangle,

Agora, calculem a área do retângulo maior,

and subtract the area of the smallest.

e subtraiam a área do mais pequeno.

The result is our score,

O resultado é a nossa pontuação.

and the goal is to get as low a score as possible.

O objetivo é obter a pontuação mais baixa possível.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Aqui, a área maior é 12 e a mais pequena é 4

giving us a score of 8.

o que nos dá uma pontuação de 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Como não tentámos obter uma pontuação baixa desta vez

we can probably do better.

talvez consigamos fazer melhor.

Let’s keep our 1x4

Mantemos o retângulo de 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

e dividimos o retângulo com 3x4 em dois: 3x3 e 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Agora, a pontuação é 9 menos 3, ou seja, 6.

Still not optimal, but better.

Ainda não é a pontuação ótima, mas já está melhor.

With such a small canvas, there are only a few options.

Com uma tela tão pequena só há poucas opções.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Vejamos o que acontece quando a tela é maior.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Experimenta uma com 8x8. Qual é a pontuação mais baixa possível?

Pause here if you want to figure it out yourself.

[Suspende o vídeo aqui, se quiseres resolver sozinho]

Answer in: 3

Resposta em: 3

Answer in: 2

Resposta em: 2

Answer in: 1

Resposta em: 1

To get our bearings, we can start as before:

Podemos começar como fizemos primeiro,

dividing the canvas roughly in two.

dividindo a tela em duas partes desiguais.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Isso dá-nos um retângulo 5x8 com uma área de 40

and a 3x8 with area 24,

e outro com 3x8 com uma área de 24,

for a score of 16.

para uma pontuação de 16.

That’s pretty bad.

É uma pontuação muito má.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Se dividirmos o 5x8 em dois: um com 5x5 e outro com 5x3

ficamos com uma pontuação de 10.

Better, but still not great.

Melhor, mas ainda não chega.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Podíamos continuar, dividindo o retângulo maior.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Mas isso deixar-nos-ia com retângulos cada vez mais pequenos

which would increase the range between the largest and smallest.

o que aumentaria o intervalo entre o maior e o mais pequeno.

What we really want

O que queremos

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

é que todos os retângulos

caiam num pequeno intervalo dos valores das áreas.

And since the total area of the canvas is 64,

Como a área total da tela é 64,

the areas need to add up to that.

as áreas têm que somar esse valor.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Façamos uma lista dos possíveis retângulos e suas áreas.

To improve on our previous score,

Para melhorar a pontuação anterior,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

podemos tentar escolher um intervalo de valores de 9 ou menos

and adding up to 64.

e somá-los até 64.

You’ll notice that some values are left out

Repara que alguns valores vão ficar de fora

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

porque os retângulos como 1x3 ou 2x9 não encaixam na tela.

Também podes verificar

You might also realize

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

que, se usares um dos retângulos

com uma área ímpar, como 5, 9 ou 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

tens que usar outro retângulo com uma área com valor ímpar

para obter uma soma par.

With all that in mind, let’s see what works.

Tendo isso em atenção, vamos ver como é que funciona.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Se começarmos com uma área de 20 ou mais

atingimos o limite demasiado depressa.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Mas podemos chegar a 64 usando retângulos no intervalo de 14 a 18,

leaving out 15.

esquecendo o 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Infelizmente, não há forma de os encaixar.

Using the 2x7 leaves a gap

Se usarmos o 2x7, ficamos com um espaço

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

que só pode ser preenchido com um retângulo com uma largura de 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

O intervalo seguinte que funciona é no intervalo de 8 a 14,

leaving out the 3x3 square.

deixando um espaço de 3x3.

This time, the pieces fit.

Desta vez, as peças encaixam.

That’s a score of 6.

Dá-nos uma pontuação de 6.

Can we do even better?

Poderemos fazer ainda melhor?

No.

Não.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Podemos obter a mesma pontuação eliminando os retângulos 2x7 e 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

e substituindo-os por um 3x3, 1x7 e 1x6.

But if we go any lower down the list,

Mas se descermos na lista,

the numbers become so small

os números ficam tão pequenos

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

que precisamos de um intervalo maior de dimensões para completar a tela

which would increase the score.

o que aumenta a pontuação.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Aqui não há nenhum truque de fórmula - apenas um pouco de intuição.

It's more art than science.

É mais arte do que ciência.

And for larger grids,

Para telas maiores,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

os matemáticos não sabem bem

se encontraram as pontuações mais baixas possíveis.

So how would you divide a 4x4,

Como dividimos uma tela com 4x4

10x10,

com 10x10

or 32x32 canvas?

ou com 32x32?

Give it a try and post your results in the comments.

Experimenta e publica os resultados nos comentários.