Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Çeviri: Sinem Mustaçoğlu Gözden geçirme: Figen Ergürbüz

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Hollandalı sanatçı Piet Mondrian’ın soyut, geometrik resimleri

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

matematikçilere iki aşamalı bir bilmece yaratmaları için ilham kaynağı oldu.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Kare şeklindeki bir tuvali üst üste gelmeyecek dikdörtgenlerle kaplamalıyız.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Her biri farklı olmalı, yani 1x4 kullandıysak, başka bir yerde 4x1

but a 2x2 rectangle would be fine.

kullanamayız ama 2x2'lik bir kareyi kullanabiliriz.

Let’s try that.

Haydi deneyelim.

Say we have a canvas measuring 4x4.

4x4 ölçülerinde bir tuvalimiz olduğunu düşünelim.

We can’t chop it directly in half,

Onu direkt olarak ikiye bölemeyiz,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

çünkü eğer öyle yaparsak aynı ölçüde, iki adet 2x4 dikdörtgen elde etmiş oluruz.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Ama buna en yakın seçenek - 3x4 ve 1x4 - işimize yarar.

That was easy, but we’re not done yet.

Buraya kadar kolaydı, ama işimiz henüz bitmedi.

Now take the area of the largest rectangle,

Şimdi, en geniş dikdörtgenin alanından,

and subtract the area of the smallest.

en küçük olanın alanını çıkaralım.

The result is our score,

Çıkan sonuç bizim puanımız

and the goal is to get as low a score as possible.

ve amacımız ise alabileceğimiz en az puanı almak.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Burada en büyük alan 12 ve en küçük alan 4,

giving us a score of 8.

8 puan elde etmemizi sağlıyor.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Henüz az puan almayı denemedik,

we can probably do better.

muhtemelen bundan daha iyisini yapabiliriz.

Let’s keep our 1x4

1x4’ü koruyarak

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

3x4’ü, 3x3 ve 3x1’e ayıralım.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Şimdi ise puanımız, 9 eksi 3, yani 6.

Still not optimal, but better.

Hâlâ mükemmel değil, ama daha iyi.

With such a small canvas, there are only a few options.

Bu kadar küçük bir tuval üzerinde oldukça az seçeneğimiz var.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

O hâlde daha büyük bir tuvalde denediğimizde ne olduğuna bir bakalım.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

8x8 üzerinde deneyelim, elde edebileceğimiz en az puan kaç olurdu?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Dilerseniz, kendiniz çözmek için videoyu burada durdurabilirsiniz.

Answer in: 3

Cevap için: 3

Answer in: 2

Cevap için: 2

Answer in: 1

Cevap için: 1

To get our bearings, we can start as before:

İlerleyeceğimiz planı bulmak için bir öncekindeki gibi

dividing the canvas roughly in two.

tuvali iki parçaya bölerek başlayabiliriz.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Bu bize alanı 40 olan bir 5x8 --

and a 3x8 with area 24,

-- ve alanı 24 olan bir 3x8 verir,

for a score of 16.

puanımız ise 16 olur.

That’s pretty bad.

Bu oldukça kötü.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

5x8’i bir 5x5 ve 5x3’e bölmek bize 10 puan kazandırır.

Better, but still not great.

Daha iyi, ama mükemmel değil.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

En büyük dikdörtgeni bölmeye devam edebiliriz.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Ama böldükçe daha da küçük dikdörtgenler elde ederiz,

which would increase the range between the largest and smallest.

bu da en büyük ve en küçük alanlar arasındaki farkın artmasına sebep olur.

What we really want

Aslında amacımız,

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

tüm dikdörtgenlerimizin küçük alanları verecek değerlerinin olmasını sağlamak.

And since the total area of the canvas is 64,

Ve tuvalin tamamının alanı 64 olduğu için,

the areas need to add up to that.

alanların da ona tamamlanması gerek.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Mümkün olan tüm dikdörtgenlerin ve alanların bir listesini çıkaralım.

To improve on our previous score,

Bir öncekinden daha iyi puan almak için

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

9 veya 9'dan az olan değerler arasından seçmeyi deneyebiliriz

and adding up to 64.

ve 64’e tamamlayabiliriz.

You’ll notice that some values are left out

Bazı değerlerin dışarıda kaldığını fark edeceksiniz,

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

çünkü 1x23 ya da 2x9 gibi dikdörtgenler tuvale uymayacak.

You might also realize

Fark edeceğiniz diğer şey ise,

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

eğer alanı 5, 9,15 gibi tek sayı olan bir dikdörtgeni kullandıysanız,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

toplamlarının çift olması için tek sayılı bir dikdörtgen daha kullanmanız gerektiği.

With all that in mind, let’s see what works.

Tüm bunları aklımızda tutarak nasıl sonuçlandığına bakalım.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

20 veya 20’den büyük bir alanla başlamak bizi çok kısa sürede

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

limitimizin üstüne çıkarır ama 64’e, 14-18 aralığındaki dikdörtgenleri kullanıp

leaving out 15.

15’i dışarıda bırakarak ulaşabiliriz.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Ne yazık ki, hepsinin uymasını sağlamak mümkün değil.

Using the 2x7 leaves a gap

2x7 kullanıldığında

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

sadece 1 birim genişlikteki bir dikdörtgenle kapanabilen bir boşluk kalır

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Değeri düşürüp 8 ve 14 arasındaki alanlara bakıp,

leaving out the 3x3 square.

3x3 karesini dışarıda bırakıyoruz.

This time, the pieces fit.

Bu defa parçalar yerine oturuyor.

That’s a score of 6.

Bu bize 6 puan kazandırıyor.

Can we do even better?

Daha da iyisini yapabilir miyiz?

No.

Hayır.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Aynı puanı, 2x7'yi ve 1x8’i çıkarıp, onların yerini

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

3x3, 1x7 ve 1x6 ile değiştirdiğimizde de elde edebiliriz.

But if we go any lower down the list,

Ama listemizde aşağı indiğimizde,

the numbers become so small

sayıların değeri o kadar azalır ki,

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

tuvali doldurabilmek için çok daha fazla ölçüye ihtiyacımız olur,

which would increase the score.

bu da alacağımız puanı artırır.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Burada gizli bir numara ya da formül yok, - sadece biraz sezgi gerekli.

It's more art than science.

Bilimsel olmaktan daha çok sanat aslında.

And for larger grids,

Ve deneyimli matematikçiler, daha büyük kareli alanlar için

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

en düşük puanları bulup bulamadıklarından emin değiller.

So how would you divide a 4x4,

Peki, ya siz 4x4,

10x10,

10x10,

or 32x32 canvas?

ya da 32x32 ölçülerindeki tuvalleri nasıl ayırırdınız?

Give it a try and post your results in the comments.

Deneyin ve sonuçlarınızı yorum olarak paylaşın.