Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Allon Sasson

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

ציורי הריבועים האבסטרקטיים של האמן ההולנדי פיט מונדריאן

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

נתנו השראה למתמטיקאים ליצור אתגר כפול.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

ראשית, אתם חייבים לכסות לגמרי ריבוע קנווס עם מרובעים לא חופפים.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

כולם חייבים להיות יחודיים, אז אם השתמשתם ב 1X4 אי אפשר להשתמש ב 4X1 בנקודה אחרת.

but a 2x2 rectangle would be fine.

אבל ריבוע של 2X2 יהיה בסדר.

Let’s try that.

בואו ננסה את זה.

Say we have a canvas measuring 4x4.

נגיד שיש לנו קנווס בגודל 4X4.

We can’t chop it directly in half,

אנחנו לא יכולים לחתוך אותו בדיוק לחצי,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

מאחר שזה יתן לנו מרובעים זהים של 2X4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

אבל האופציה הכי קרובה 3X4 ו 1X4 עובדת.

That was easy, but we’re not done yet.

זה היה קל, אבל עדיין לא סיימנו.

Now take the area of the largest rectangle,

עכשיו קחו את האיזור של המרובע הגדול יותר,

and subtract the area of the smallest.

והפחיתו את השטח של הקטן יותר.

The result is our score,

התוצאה היא הניקוד.

and the goal is to get as low a score as possible.

והמטרה היא לקבל את הניקוד הנמוך ביותר.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

פה, האיזור הגדול ביותר הוא 12 והקטן הוא 4,

giving us a score of 8.

מה שנותן לנו תוצאה של 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

מאחר ולא ניסינו ללכת על התוצאה הנמוכה ביותר הפעם,

we can probably do better.

אנחנו כנראה יכולים להצליח יותר.

Let’s keep our 1x4

בואו נשמור על ה 1X4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

בעודנו מפרקים את ה 3X4 ל 3X3 ו 3X1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

עכשיו התוצאה היא 9 פחות 3, או 6.

Still not optimal, but better.

עדיין לא אופטימלי, אבל טוב יותר.

With such a small canvas, there are only a few options.

עם קנווס כזה קטן, יש רק מעט אפשרויות.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

אבל בואו נראה מה קורה כשהקנווס גדל.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

נסו אחד של 8X8: מה התוצאה הנמוכה ביותר אליה אתם מגיעים?

Pause here if you want to figure it out yourself.

עצרו את הסרטון פה אם אתם רוצים לנסות לגלות בעצמכם.

Answer in: 3

תשובה עוד: 3

Answer in: 2

תשובה עוד: 2

Answer in: 1

תשובה עוד: 1

To get our bearings, we can start as before:

כדי לקבל כיוון, אנחנו יכולים להתחיל כמו מקודם:

dividing the canvas roughly in two.

לחלק את הקנווס בערך לשתים.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

זה נותן לנו מרובעים של 5X8 עם שטח 40

and a 3x8 with area 24,

ו 3X8 עם שטח 24,

for a score of 16.

לתוצאה של 16.

That’s pretty bad.

זה די גרוע.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

לחלק את ה 5X8 ל 5X5 ו 5X3 משאיר אותנו עם תוצאה 10.

Better, but still not great.

יותר טוב, אבל עדיין לא מעולה.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

נוכל פשוט להמשיך לחלק את המרובע הגדול .

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

אבל זה ישאיר אותנו עם מרובעים קטנים יותר ויותר,

which would increase the range between the largest and smallest.

מה שיגדיל את הטווח בין הכי גדול להכי קטן.

What we really want

מה שאנחנוו באמת רוצים

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

זה שכל המרובעים שלנו יכנסו לטווח צר של ערכי שטח.

And since the total area of the canvas is 64,

ומאחר והשטח הכולל של הקנווס הוא 64,

the areas need to add up to that.

השטח צריך להסתכם בזה.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

בואו נעשה רשימה של מרובעים אפשריים ושטחם.

To improve on our previous score,

כדי לשפר את התוצאה הקודמת שלנו,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

אנחנו יכולים לנסות לבחור טווח של ערכים שנעים מ 9 או פחות

and adding up to 64.

ולהוסיף אותם ל 64.

You’ll notice that some values are left out

אתם תשימו לב שכמה ערכים נשארים בחוץ

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

בגלל שמרובעים של 1X13 או 2X9 לא מתאימים על הקנווס.

You might also realize

אולי גם תבינו

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

שאם אתם משתמשים באחד המרובעים עם שטח אי זוגי כמו 5,9, או 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

אתם צריכים שטח אי זוגי אחר כדי להגיע לסכום זוגי.

With all that in mind, let’s see what works.

עם כל זה, בואו נראה מה עובד.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

התחלה עם שטח של 20 או יותר שמה אותנו מעל הרף במהירות.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

אבל אנחנו יכולים להגיע ל 64 בשימוש במרובעים בתחום של 14-18,

leaving out 15.

אם משאירים את 15 בחוץ.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

לצערנו, אין דרך לגרום להם להתאים.

Using the 2x7 leaves a gap

שימוש ב 2X7 משאיר רווח

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

שיכול להיות ממולא רק עם מרובע עם רוחב 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

אם יורדים למטה יותר, הטוח הבא שעובד הוא 8 עד 14,

leaving out the 3x3 square.

אם משאירים בחוץ ריבוע של 3X3.

This time, the pieces fit.

הפעם, החתיכות מתאימות.

That’s a score of 6.

זו תוצאה של 6.

Can we do even better?

האם אפשר להצליח יותר?

No.

לא.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

אנחנו יכולים להגיע לאותה תוצאה על ידי השלכת ה 2X7 וה 1X8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

והחלפתם ב 3X3, 1X7 ו 1X6.

But if we go any lower down the list,

אבל אם אנחנו יורדים יותר ברשימה,

the numbers become so small

המספרים הופכים לכל כך קטנים

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

שנצטרך טווח רחב יותר של גדלים כדי לכסות את כל הקנווס,

which would increase the score.

מה שיגדיל את התוצאה.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

אין טריק או נוסחה פה - פשוט קצת איטואיציה.

It's more art than science.

זה יותר אמנות ממדע.

And for larger grids,

ולגרידים גדולים יותר,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

מתמטיקאים מומחים לא בטוחים אם הם מצאו את התוצאה הנמוכה ביותר האפשרית.

So how would you divide a 4x4,

אז איך תחלקו קנווס של 4X4,

10x10,

10X10,

or 32x32 canvas?

או 32X32?

Give it a try and post your results in the comments.

נסו והעלו את התשובה שלכם בתגובות.