Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Traduttore: Sara Frasconi Revisore: Alessandra Tadiotto

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

I dipinti astratti e rettangolari dell'artista olandese Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

hanno ispirato i matematici a creare una duplice sfida.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Dobbiamo prima coprire una tela quadrata con rettangoli non sovrapposti.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Deve essere tutto unico, quindi se usiamo un 1x4, non possiamo usare un 4x1 altrove

but a 2x2 rectangle would be fine.

ma un rettangolo 2x2 andrebbe bene.

Let’s try that.

Proviamoci.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Diciamo che abbiamo una tela di 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Non possiamo tagliarla direttamente a metà

since that would give us identical rectangles of 2x4.

poiché in questo modo otterremmo rettangoli 2x4 identici.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Ma l'altra opzione più simile - 3x4 e 1x4 - funziona.

That was easy, but we’re not done yet.

Questa era facile, ma non abbiamo ancora finito.

Now take the area of the largest rectangle,

Adesso prendete l'area del rettangolo più grande

and subtract the area of the smallest.

e sottraete l'area di quello più piccolo.

The result is our score,

Il risultato è il nostro punteggio

and the goal is to get as low a score as possible.

e l'obiettivo è di ottenere il punteggio più basso possibile.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Qui l'area più grande è 12 e quella più piccola 4

giving us a score of 8.

quindi otteniamo un punteggio di 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Visto che non abbiamo cercato di arrivare a un punteggio basso,

we can probably do better.

forse possiamo fare di meglio.

Let’s keep our 1x4

Manteniamo il nostro 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

e dividiamo il 3x4 in un 3x3 e un 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Ora il nostro punteggio è 9 meno 3, ovvero 6.

Still not optimal, but better.

Non è ancora perfetto, ma è già meglio.

With such a small canvas, there are only a few options.

Con una tela così piccola esistono solo poche opzioni.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Ma vediamo cosa succede con una tela più grande.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Proviamo con una tela 8x8; qual è il punteggio più basso che si può avere?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Mettete in pausa qui se volete scoprirlo da soli.

Answer in: 3

Risposta tra 3,

Answer in: 2

2,

Answer in: 1

1.

To get our bearings, we can start as before:

Per orientarci possiamo iniziare come prima:

dividing the canvas roughly in two.

dividiamo la tela approssimativamente in due.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Otteniamo un rettangolo 5x8 con un'area di 40

and a 3x8 with area 24,

e un rettangolo 3x8 con un'area di 24

for a score of 16.

per un punteggio di 16.

That’s pretty bad.

Non è proprio il massimo.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Dividendo il rettangolo 5x8 in un 5x5 e un 5x3 otteniamo il punteggio di 10.

Better, but still not great.

Meglio ma non ancora ottimo.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Potremmo continuare a dividere il rettangolo più grande.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Ma così otterremmo rettangoli sempre più piccoli

which would increase the range between the largest and smallest.

aumentando il divario tra il più grande e il più piccolo.

What we really want

Ciò che cerchiamo davvero

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

è che tutti i rettangoli siano compresi in un piccolo intervallo di aree.

And since the total area of the canvas is 64,

E poiché l'area totale della tela è 64,

the areas need to add up to that.

la somma delle aree deve essere pari a 64.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Facciamo una lista dei rettangoli e delle aree possibili.

To improve on our previous score,

Per migliorare il nostro ultimo punteggio,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

possiamo scegliere un intervallo di valori pari a 9 o meno

and adding up to 64.

e la cui somma sia 64.

You’ll notice that some values are left out

Noterete che alcuni valori sono esclusi

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

perché rettangoli di 1x13 o 2x9 non entrano nella tela.

You might also realize

Potreste anche constatare

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

che se utilizzate un rettangolo con un'area dispari come 5, 9 o 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

dovete usare un altro rettangolo con area dispari per avere una somma pari.

With all that in mind, let’s see what works.

Alla luce di tutto ciò, vediamo cosa può funzionare.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Iniziando con un'area di 20 o più superiamo il limite troppo velocemente.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Ma possiamo arrivare a 64 usando rettangoli nell'intervallo 14-18,

leaving out 15.

escludendo 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Purtroppo è impossibile farceli entrare.

Using the 2x7 leaves a gap

Usando il 2x7, si crea un buco

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

che può essere riempito solo con un rettangolo di larghezza 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Riducendo ancora, il prossimo intervallo che funziona è da 8 a 14,

leaving out the 3x3 square.

escludendo il quadrato 3x3.

This time, the pieces fit.

Questa volta i pezzi si incastrano.

That’s a score of 6.

Abbiamo un punteggio di 6.

Can we do even better?

Possiamo fare ancora meglio?

No.

No.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Possiamo ottenere lo stesso risultato escludendo i rettangoli 2x7 e 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

e sostituendoli con un 3x3, 1x7 e 1x6.

But if we go any lower down the list,

Ma se scendiamo ancora più in basso,

the numbers become so small

i numeri diventano così piccoli

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

che servirebbe una gamma più ampia di dimensioni per coprire la tela,

which would increase the score.

cosa che farebbe aumentare il punteggio.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Non ci sono né trucchi né formule, solo un po' di intuizione.

It's more art than science.

È più un'arte che una scienza.

And for larger grids,

E per tele più grandi,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

i matematici non sono neanche sicuri di aver trovato i risultati più bassi.

So how would you divide a 4x4,

Quindi, come dividereste una tela 4x4,

10x10,

10x10

or 32x32 canvas?

o 32x32?

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Provateci e postate i vostri risultati nei commenti.