Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Tłumaczenie: Magdalena Stolc Korekta: Rysia Wand

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Geometryczne, abstrakcyjne obrazy holenderskiego artysty Pieta Mondriana

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

zainspirowały matematyków do stworzenia złożonego wyzwania.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Po pierwsze, należy zapełnić płótno oddzielnymi prostokątami.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Prostokąty muszą być niepowtarzalne, czyli po 1x4 nie można użyć już 4x1,

but a 2x2 rectangle would be fine.

ale 2x2 będzie OK.

Let’s try that.

Spróbujmy.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Weźmy płótno o wymiarach 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Nie można podzielić go na pół,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

bo to dałoby dwa identyczne prostokąty - 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Ale najbliższa opcja, 3x4 i 1x4, działa.

That was easy, but we’re not done yet.

To było proste, ale to nie koniec.

Now take the area of the largest rectangle,

Weź powierzchnię największego prostokąta

and subtract the area of the smallest.

i odejmij powierzchnię najmniejszego.

The result is our score,

Wynik odejmowania to zdobyte punkty,

and the goal is to get as low a score as possible.

a trzeba zdobyć jak najmniej punktów.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Tutaj największa powierzchnia to 12, a najmniejsza 4,

giving us a score of 8.

co daje nam wynik 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Skoro tym razem nie staraliśmy się uzyskać małej ilości punktów,

we can probably do better.

pewnie można zrobić to lepiej.

Let’s keep our 1x4

Zostańmy przy prostokącie 1x4,

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

a 3x4 rozbijmy na 3x3 i 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Teraz nasz wynik to 9 minus 3, czyli 6.

Still not optimal, but better.

Wciąż nie optymalnie, ale lepiej.

With such a small canvas, there are only a few options.

Z tak małym płótnem opcji jest niewiele.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Ale spójrzmy, co się stanie, jeśli obraz będzie większy.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Spróbujmy z 8x8. Jaki jest twój najlepszy wynik?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Zrób teraz pauzę, aby rozwiązać samodzielnie.

Answer in: 3

Odpowiedź za: 3

Answer in: 2

Odpowiedź za: 2

Answer in: 1

Odpowiedź za: 1

To get our bearings, we can start as before:

Na początek można zacząć tak samo,

dividing the canvas roughly in two.

dzieląc płótno prawie na pół.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

To daje nam prostokąt 5x8 o powierzchni 40

and a 3x8 with area 24,

i prostokąt 3x4 liczący 24,

for a score of 16.

z wynikiem 16.

That’s pretty bad.

To kiepsko.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Rozdzielając 5x8 na 5x5 i 5x3, zostaniemy z wynikiem 10.

Better, but still not great.

Lepiej, ale wciąż nie wspaniale.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Można kontynuować dzielenie największych prostokątów,

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

ale to dałoby coraz mniejsze prostokąty,

which would increase the range between the largest and smallest.

co zwiększyłoby różnicę między największym i najmniejszym.

What we really want

Chcemy, żeby nasze prostokąty

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

miały zbliżoną powierzchnię.

And since the total area of the canvas is 64,

Przy całkowitej powierzchni płótna 64,

the areas need to add up to that.

taka musi być też suma ich powierzchni.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Zróbmy listę możliwych prostokątów i ich powierzchni.

To improve on our previous score,

Aby poprawić poprzedni wynik,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

spróbujmy wybrać rozmiary mniejsze lub równe 9,

and adding up to 64.

o powierzchni do 64.

You’ll notice that some values are left out

Pewne wartości się pomija,

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

bo prostokąty 1x13 lub 2x9 nie zmieszczą się na płótnie.

You might also realize

Okaże się też,

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

że po użyciu prostokąta

o nieparzystej powierzchni jak 5,9 albo 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

trzeba użyć innego nieparzystego, aby otrzymać parzystą sumę.

With all that in mind, let’s see what works.

Mając to na uwadze, spójrzmy, co zadziała.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Powierzchnia 20 lub więcej daje za mało możliwości.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Ale można dojść do 64,

używając prostokątów w przedziale od 14 do 18,

leaving out 15.

oprócz 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Niestety, nie da się ich dopasować.

Using the 2x7 leaves a gap

Użycie prostokąta 2x7 zostawi lukę,

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

którą może wypełnić tylko prostokąt o szerokości 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Idąc niżej, kolejny przedział, który działa, to 8-14,

leaving out the 3x3 square.

pomijając kwadrat 3x3.

This time, the pieces fit.

Tym razem elementy układanki pasują.

That’s a score of 6.

To wynik 6.

Can we do even better?

Czy można zrobić to lepiej?

No.

Nie.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Można uzyskać ten sam wynik, wyrzucając 2x7 oraz 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

i zastępując je prostokątami 3x3, 1x7 i 1x6.

But if we go any lower down the list,

Ale jeśli pójdziemy jeszcze dalej,

the numbers become so small

wartości staną się tak małe,

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

że będzie trzeba dużej rozpiętości rozmiarów, aby pokryć płótno,

which would increase the score.

co zwiększyłoby wynik.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Nie ma tu żadnego triku ani wzoru - tylko odrobina intuicji.

It's more art than science.

Sztuka bardziej niż nauka.

And for larger grids,

W większych skalach matematycy nie są pewni,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

czy odnaleźli najniższą możliwą różnicę.

So how would you divide a 4x4,

Jak podzielić płótno 4x4,

10x10,

10x10,

or 32x32 canvas?

albo 32x32?

Give it a try and post your results in the comments.

Spróbuj i zamieść swój wynik w komentarzu.