Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Traducteur: Anne-Sophie Matichard Relecteur: eric vautier

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Les peintures rectangulaires et abstraites de l'artiste néerlandais Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

ont inspiré aux mathématiciens la création d'un double défi :

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

nous devons recouvrir une toile carrée de rectangles ne se chevauchant pas.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Tout doit être unique : si on utilise un 1x4, on ne peut pas utiliser un 4x1,

but a 2x2 rectangle would be fine.

mais un rectangle de 2x2 conviendrait.

Let’s try that.

Essayons cela.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Imaginons que nous ayons une toile de 4x4.

We can’t chop it directly in half,

Nous ne pouvons pas la diviser en 2,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

car cela nous donnerait 2 rectangles identiques de 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Mais l'option la plus proche, 3x4 et 1x4 fonctionne.

That was easy, but we’re not done yet.

C'était facile, mais ce n'est pas terminé.

Now take the area of the largest rectangle,

Prenons maintenant l'aire du plus grand rectangle

and subtract the area of the smallest.

et ôtons-lui l'aire du plus petit.

The result is our score,

Le résultat est notre score,

and the goal is to get as low a score as possible.

le but étant d'obtenir le plus petit score possible.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Ici, l'aire la plus large est 12, la plus petite 4,

giving us a score of 8.

nous donnant ainsi le score de 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Comme nous n'avons pas cherché à faire le plus petit score ici,

we can probably do better.

nous pouvons faire mieux.

Let’s keep our 1x4

Gardons notre 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

et cassons le 3x4 en un 3x3 et 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Notre score est maintenant de 9 moins 3, soit 6.

Still not optimal, but better.

Ce n'est toujours pas le meilleur, mais c'est déjà mieux.

With such a small canvas, there are only a few options.

Avec de petites toiles, il n'y a que peu de possibilités.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Voyons ce qu'il se passe avec une plus grande toile.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Essayons une 8x8. Quel est le plus petit score que vous atteignez ?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Mettez la vidéo en pause si vous voulez y réfléchir.

Answer in: 3

Réponse dans 3

Answer in: 2

Réponse dans 2

Answer in: 1

Réponse dans 1

To get our bearings, we can start as before:

Gardons nos marques et commençons comme précédemment :

dividing the canvas roughly in two.

divisons grossièrement la toile en deux.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Cela nous donne un rectangle de 5x8 avec une aire de 40

and a 3x8 with area 24,

et un rectangle de 3x8 avec une aire de 24,

for a score of 16.

soit un score de 16.

That’s pretty bad.

C'est assez mauvais.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Diviser ce 5x8 en un 5x5 et un 5x3 nous donne un score de 10.

Better, but still not great.

Mieux, mais toujours pas le meilleur.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Nous pouvons continuer à diviser le plus gros rectangle,

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

mais cela nous donnerait des rectangles minuscules,

which would increase the range between the largest and smallest.

ce qui augmenterait la différence entre le plus grand et le plus petit.

What we really want

Ce que nous voulons vraiment,

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

c'est que toutes les aires de nos rectangles aient des petites valeurs.

And since the total area of the canvas is 64,

Et comme l'aire totale de la toile est de 64,

the areas need to add up to that.

les aires doivent s'additionner jusqu'à ce nombre.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Faisons une liste des rectangles possibles et de leurs aires.

To improve on our previous score,

Pour améliorer notre précieux score,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

nous pouvons essayer de prendre des valeurs tournant autour de 9 ou moins

and adding up to 64.

et les additionner jusqu'à 64.

You’ll notice that some values are left out

Vous remarquerez que certaines valeurs sont laissées de côté

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

car des rectangles de 1x13 ou de 2x9 ne rentreraient pas dans la toile.

Vous vous rendrez aussi compte

You might also realize

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

que si l'un de vos rectangles a une aire bizarre comme 5, 9 ou 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

vous aurez besoin d'un autre rectangle à valeur bizarre pour avoir une somme égale.

With all that in mind, let’s see what works.

Gardons tout ça en tête et voyons ce qui fonctionne.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Commencer par une aire de 20 ou plus nous pousse trop rapidement à la limite.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Mais nous pouvons parvenir à 64 en prenant des rectangles de valeur entre 14-18,

leaving out 15.

sans utiliser 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Malheureusement, il n'existe pas de solution pour les faire rentrer.

Using the 2x7 leaves a gap

Utiliser le 2x7 laisse un trou

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

qui ne peut être complété que par un rectangle de largeur 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Si l'on diminue, le prochain rang de valeur qui fonctionne est 8 à 14,

leaving out the 3x3 square.

sans utiliser le carré de 3x3.

This time, the pieces fit.

Cette fois-ci, les pièces rentrent.

That’s a score of 6.

Ça nous donne un score de 6.

Can we do even better?

Pouvons-nous faire mieux encore?

No.

Non.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Nous pouvons obtenir le même score en enlevant le 2x7 et le 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

et en les remplaçant par 3x3,1x7 et 1x6.

But if we go any lower down the list,

Mais si nous descendons encore plus bas dans la liste,

the numbers become so small

les nombres deviennent si petits

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

que nous aurions besoin d'un rang de tailles plus large pour couvrir la toile,

which would increase the score.

ce qui ferait monter notre score.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Il n'y a pas de truc ou de formule ici, juste un peu d'intuition,

It's more art than science.

c'est plus de l'art que de la science.

And for larger grids,

Pour des grilles plus grandes,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

les mathématiciens ne sont pas sûrs d'avoir atteint le plus petit score.

So how would you divide a 4x4,

Alors, comment diviseriez-vous une toile de 4x4,

10x10,

10x10,

or 32x32 canvas?

ou 32x32 ?

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