Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Traductor: Sonia Escudero Sánchez Revisor: Jenny Lam-Chowdhury

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Las pinturas rectangulares del artista abstracto danés Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

inspiraron a los matemáticos a crear un doble desafío.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Primero, completar un lienzo cuadrado con rectángulos no superpuestos.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Todos deben ser únicos; si usamos un 1x4 no podemos usar un 4x1 en otro punto,

but a 2x2 rectangle would be fine.

pero un rectángulo 2x2 estaría bien.

Let’s try that.

Probémoslo.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Digamos que tenemos un lienzo que mide 4x4.

We can’t chop it directly in half,

No podemos partirlo por la mitad,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

ya que nos daría rectángulos idénticos de 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Pero la siguiente opción más cercana: 3x4 y 1x4 funciona.

That was easy, but we’re not done yet.

Esto fue fácil, pero no hemos acabado.

Now take the area of the largest rectangle,

Ahora tomamos el área del rectángulo más grande,

and subtract the area of the smallest.

y sustraemos el área del más pequeño.

The result is our score,

El resultado es nuestra puntuación

and the goal is to get as low a score as possible.

y el objeto es conseguir la puntuación más baja posible.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Aquí, el área más grande es 12 y el más pequeño es 4,

giving us a score of 8.

dándonos un resultado de 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Como no intentamos obtener un resultado menor esta vez,

we can probably do better.

probablemente podemos hacerlo mejor.

Let’s keep our 1x4

Mantengamos nuestro 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

mientras dividimos el 3x4 en un 3x3 y un 3x1.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Ahora nuestro resultado es 9 menos 3, o 6.

Still not optimal, but better.

Aún no es óptimo, pero vamos mejorando.

With such a small canvas, there are only a few options.

Con un lienzo tan pequeño solo tenemos un par de opciones.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Pero veamos qué pasa cuando el lienzo se hace más grande.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Prueba un 8x8, ¿cuál es el resultado más bajo que puedes obtener?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Pausa aquí si quieres tratar de resolverlo tú mismo.

Answer in: 3

Respuesta en: 3

Answer in: 2

Respuesta en: 2

Answer in: 1

Respuesta en: 1

To get our bearings, we can start as before:

Para orientarnos, empecemos como antes:

dividing the canvas roughly in two.

dividiendo el lienzo toscamente en 2.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Esto nos da un rectángulo de 5x8 con un área de 40

and a 3x8 with area 24,

y uno de 3x8 con un área de 24,

for a score of 16.

para un resultado de 16.

That’s pretty bad.

Eso está muy mal.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Dividiendo el 5x8 en un 5x5 y un 5x3 nos deja con un resultado de 10.

Better, but still not great.

Mejor, pero no es fantástico.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Podemos seguir dividiendo el rectángulo mayor.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Pero nos dejaría con una cantidad mayor de rectángulos pequeños,

which would increase the range between the largest and smallest.

lo que incrementaría el rango entre el mayor y el menor.

What we really want

Lo que realmente queremos

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

es que todos nuestros rectángulos queden dentro de un rango pequeño de áreas.

And since the total area of the canvas is 64,

Dado que el área total del lienzo es 64,

the areas need to add up to that.

las áreas deben sumar eso.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Hagamos una lista de los posibles rectángulos y áreas.

To improve on our previous score,

Para mejorar nuestro resultado anterior,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

podemos intentar elegir un rango de valores que abarque 9 o menos

and adding up to 64.

y que sumen hasta 64.

You’ll notice that some values are left out

Notarás que algunos valores quedan fuera

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

porque rectángulos como 1x3 o 2x9 no cabrán en el lienzo.

También te darás cuenta

You might also realize

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

de que si usas uno de los rectángulos con áreas impares como 5, 9 o 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

necesitarás otro rectángulo impar para conseguir una suma par.

With all that in mind, let’s see what works.

Con esto en mente, veamos cómo funciona.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Comenzar con un área de 20 o más nos pondrá sobre el límite muy pronto,

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

pero podemos conseguir 64 usando rectángulos entre los rangos de 14 a 18,

leaving out 15.

dejando fuera 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Desafortunadamente, no hay manera de hacerlos encajar.

Using the 2x7 leaves a gap

Usar 2x7 deja un espacio

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

que solo puede ser llenado por un rectángulo con el ancho de 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Reduciendo los números, el siguiente rango que funciona es de 8 a 14,

leaving out the 3x3 square.

dejándonos un cuadrado de 3x3.

This time, the pieces fit.

Esta vez, las piezas encajan.

That’s a score of 6.

Es una puntación de 6.

Can we do even better?

¿Podemos hacerlo mejor?

No.

No.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Obtenemos la misma puntuación rechazando el 2x7 y el 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

y reemplazándolos con 3x3, 1x7 y 1x6.

But if we go any lower down the list,

Pero si vamos más abajo en la lista,

the numbers become so small

los números se vuelven tan pequeños

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

que necesitaríamos un rango mayor de tamaños para cubrir el lienzo,

which would increase the score.

lo que incrementaría el resultado.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

No hay ningún truco o fórmula, solo un poco de intuición.

It's more art than science.

Es más arte que ciencia.

And for larger grids,

Y para cuadrículas mayores

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

los matemáticos expertos no saben

si han encontrado los resultados más bajos posibles.

So how would you divide a 4x4,

¿Cómo dividirías un lienzo de 4x4,

10x10,

10x10

or 32x32 canvas?

o 32x32?

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