Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

번역: Chan-Hong Park 검토: Won Jang

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

네덜란드 화가 피에트 몬드리안이 그린 직사각형의 추상화를 보고

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

수학자들은 이중 요인 문제를 만들어 내었습니다.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

사각형의 캔버스를 서로 겹치지 않는 사각형들로 완전히 덮어야 합니다.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

사각형은 모두 달라야 하며, 따라서 1x4와 4x1은 같이 쓸 수 없지요.

but a 2x2 rectangle would be fine.

하지만 2x2 사각형은 괜찮겠지요.

Let’s try that.

한 번 해볼까요.

Say we have a canvas measuring 4x4.

4x4 사이즈의 캔버스가 있다고 가정해 보죠.

We can’t chop it directly in half,

이걸 정확히 반으로 자르면 안 되겠죠.

since that would give us identical rectangles of 2x4.

왜냐하면 똑같은 2x4 사각형 두 개가 생기니까요.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

하지만 사이즈를 조금 바꾼 3x4와 1x4는 가능합니다.

여기 까지는 쉬웠지만 아직 끝이 아닙니다.

That was easy, but we’re not done yet.

Now take the area of the largest rectangle,

제일 큰 사각형의 면적에서

and subtract the area of the smallest.

제일 작은 사각형의 면적을 뺍니다.

The result is our score,

그 결과가 점수가 되지요.

and the goal is to get as low a score as possible.

최대한 낮은 점수를 내는 게 목표입니다.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

여기서 가장 큰 사각형의 면적은 12이고 제일 작은 것은 4이니

giving us a score of 8.

우리의 점수는 8점이 됩니다.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

이제 낮은 점수가 나오도록 머리를 써볼까요?

we can probably do better.

잘 할 수 있을 거예요.

Let’s keep our 1x4

1x4는 그대로 두고

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

3x4를 3x3과 3x1로 잘라보죠.

Now our score is 9 minus 3, or 6.

이제는 9에서 3을 뺀 6이 우리의 점수가 됩니다.

Still not optimal, but better.

만족할 만한 점수는 아니지만 전보다는 나아졌네요.

With such a small canvas, there are only a few options.

이런 작은 캔버스에는 경우의 수가 많지 않습니다.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

하지만 더 큰 캔버스로는 어떨지 볼까요?

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

8x8 캔버스입니다. 얼마나 낮은 점수를 낼 수 있나요?

Pause here if you want to figure it out yourself.

(여러분이 직접 해보고 싶다면 여기서 잠깐 멈추세요)

Answer in: 3

3초 후 정답 공개

Answer in: 2

2초 후 정답 공개

Answer in: 1

1초 후 정답 공개

To get our bearings, we can start as before:

배운 대로 시작해볼까요?

dividing the canvas roughly in two.

캔버스를 대략 둘로 나눕니다.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

면적 40인 5X8 사각형과

and a 3x8 with area 24,

면적 24인 3X8 사각형이 나왔으니

for a score of 16.

점수는 16점입니다.

That’s pretty bad.

형편없는 점수네요.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

5X8을 5X5와 5X3으로 나누면 10점이 되는 군요.

Better, but still not great.

조금 나아졌지만 아직 멀었어요.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

가장 큰 사각형을 계속 자를 수는 있습니다.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

하지만 이러면 점점 더 작은 사각형들이 만들어지고

which would increase the range between the largest and smallest.

가장 큰 사각형과 가장 작은 사각형의 면적 차이도 늘어만 갑니다.

What we really want

우리가 진짜 원하는 것은

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

모든 사각형이 비슷한 면적으로 만들어지는 것입니다.

And since the total area of the canvas is 64,

캔버스의 총면적이 64이기 때문에

the areas need to add up to that.

면적들의 합계는 64가 돼야 합니다.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

나올 수 있는 사각형과 면적을 리스트로 만들어 보죠.

To improve on our previous score,

조금 전 점수보다 나아지려면

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

우린 9 혹은 그 이하의 점수가 나오는 수들을 골라서

and adding up to 64.

이 수들의 합이 64가 되게 해야 합니다.

You’ll notice that some values are left out

우리는 여기에서 몇 몇 값들이 빠져있다는 것을 알 수 있습니다.

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

1x13이나 2x9 같은 사각형은 캔버스에 맞지 않기 때문입니다.

You might also realize

또 눈치 채셨는지 모르겠지만

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

5, 9, 15 같은 홀수의 면적을 사용하면

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

전체 합을 짝수로 맞추기 위해 또 다른 홀수 값이 필요합니다.

With all that in mind, let’s see what works.

이 모든 걸 염두에 두고 어떻게 되는 지 지켜보죠.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

면적 20 이상으로 시작하면 금세 한계에 도달합니다.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

하지만 면적 14와 18 사이를 이용하면 합 64를 맞출 수는 있어요.

leaving out 15.

면적 15만 제외하면 됩니다.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

하지만 실제로 사각형들을 캔버스에 맞추어 넣을 수는 없습니다.

Using the 2x7 leaves a gap

2x7을 사용하면 빈틈이 생깁니다.

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

이 틈은 한 면이 1인 사각형으로만 메꿀 수 있지요.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

숫자를 낮추면 다음으로 유효한 범위는 8-14입니다

leaving out the 3x3 square.

3x3은 제외해야 겠지요.

This time, the pieces fit.

이번엔 조각들이 잘 맞는 군요.

That’s a score of 6.

점수는 6점입니다.

Can we do even better?

더 나은 점수가 가능할까요?

No.

아니오.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

2x7과 1x8을 버리면 같은 점수를 받을 수는 있습니다.

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

그 둘을 3x3과 1x7, 1x6으로 대체 할 수 있겠지요.

But if we go any lower down the list,

리스트의 더 낮은 값으로 내려가면

the numbers become so small

숫자가 너무 작아져

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

캔버스를 채우기 위해 더 다양한 크기의 사각형이 필요합니다.

which would increase the score.

그러면 점수가 높아지겠지요.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

어떤 속임수나 공식도 없어요. 약간의 직관만 필요합니다.

It's more art than science.

이건 과학이라기 보단 예술에 가깝습니다.

And for larger grids,

더 큰 사각형의 경우

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

수학전문가들도 자신들이 받은 점수가 가장 작은 점수인지 장담하지 못합니다.

So how would you divide a 4x4,

여러분은 4x4를 어떻게 나누실 건가요?

10x10,

10x10이나

or 32x32 canvas?

32x32 캔버스는요?

Give it a try and post your results in the comments.

한 번 시도해보세요. 그리고 그 결과를 댓글로 알려주세요.