Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

Translator: Phúc Nguyễn Song Thiên Reviewer: My Den

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

Những bức tranh hình chữ nhật trừu tượng của họa sĩ người Hà Lan Piet Mondrian

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

đã truyền cảm hứng cho các nhà toán học tạo ra một thử thách hai chiều.

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

Đầu tiên, ta phải lấp đầy khung tranh với những miếng chữ nhật tách biệt.

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

Tất cả phải khác nhau, nên nếu dùng cỡ 1x4 thì ta không thể dùng cỡ 1x4 vào chỗ khác,

but a 2x2 rectangle would be fine.

nhưng một miếng chữ nhật cỡ 2x2 thì ổn.

Let’s try that.

Hãy thử điều đó.

Say we have a canvas measuring 4x4.

Giả sử chúng ta có một khung tranh cỡ 4x4

We can’t chop it directly in half,

Chúng ta không thể chia đôi nó,

since that would give us identical rectangles of 2x4.

vì chúng ta sẽ có hai miếng chữ nhật giống nhau cỡ 2x4.

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

Nhưng lựa chọn gần nhất kế tiếp - 3x4 và 1x4 - hơp lệ.

Trông thật dễ dàng, nhưng chúng ta vẫn chưa xong.

That was easy, but we’re not done yet.

Now take the area of the largest rectangle,

Giờ hãy lấy diện tích của miếng chữ nhật lớn nhất,

and subtract the area of the smallest.

và trừ cho diện tích của miếng nhỏ nhất.

The result is our score,

Kết quả là điểm của chúng ta,

and the goal is to get as low a score as possible.

và mục tiêu là điểm càng thấp càng tốt.

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

Ở đây, diện tích lớn nhất là 12 và nhỏ nhất là 4,

giving us a score of 8.

cho chúng ta điểm 8.

Since we didn’t try to go for a low score that time,

Vì chúng ta không cố đạt điểm thấp lần đó,

we can probably do better.

chúng ta có thể làm tốt hơn.

Let’s keep our 1x4

Hãy giữ lại miếng 1x4

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

trong khi chia miếng 3x4 thành một miếng 3x3 và một miếng 3x1

Now our score is 9 minus 3, or 6.

Giờ điểm của chúng ta là 9 trừ 3, hoặc 6.

Still not optimal, but better.

Vẫn chưa phải tối ưu, nhưng tốt hơn trước.

With such a small canvas, there are only a few options.

Với khung tranh nhỏ như thế, có khá ít lựa chọn.

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

Nhưng hãy xem điều gì xảy ra khi khung tranh lớn hơn.

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

Hãy thử trường hợp 8x8; và xem điểm nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Pause here if you want to figure it out yourself.

Hãy tạm dừng nếu bạn muốn tự mình tìm ra.

Answer in: 3

Đáp án trong: 3

Answer in: 2

Đáp án trong: 2

Answer in: 1

Đáp án trong: 1

To get our bearings, we can start as before:

Để bắt đầu, chúng ta có thể làm như trước đó:

dividing the canvas roughly in two.

chia khung tranh thành hai phần gần bằng nhau.

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

Cách đó cho chúng ta một miếng chữ nhật 5x8 với diện tích là 40

and a 3x8 with area 24,

và một miếng 3x8 với diện tích là 24,

for a score of 16.

cho điểm 16.

That’s pretty bad.

Nó trông khá tệ.

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

Chia miếng 5x8 đó thành một miếng 5x5 và một miếng 5x3 cho chúng ta điểm 10.

Better, but still not great.

Chưa tuyệt lắm nhưng vẫn tốt hơn.

We could just keep dividing the biggest rectangle.

Chúng ta có thể chỉ cần chia nhỏ những miếng lớn nhất.

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

Nhưng chúng ta sẽ có những miếng chữ nhật nhỏ dần đi,

which would increase the range between the largest and smallest.

mà sẽ tăng phạm vi (diện tich) giữa miếng lớn nhất và nhỏ nhất.

Điều mà chúng ta thực sự cần

What we really want

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

là tất cả các miếng chữ nhật sẽ nằm trong phạm vi diện tích nhỏ.

And since the total area of the canvas is 64,

Và vì tổng diện tích khung tranh là 64,

the areas need to add up to that.

tổng diện tích các miếng phải vừa đủ 64.

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

Hãy liệt kê những miếng chữ nhật khả thi và diện tích của chúng.

To improve on our previous score,

Để cải thiện điểm số trước đó,

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

chúng ta có thể chọn các giá trị diện tích từ 9 trở xuống

and adding up to 64.

và có tổng là 64.

You’ll notice that some values are left out

Bạn sẽ thấy có vài giá trị bị loại trừ

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

vì những miếng chữ nhật cỡ 1x13 hay 2x9 sẽ không vừa trên khung hình.

You might also realize

Bạn cũng có thể nhận ra

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

rằng nếu bạn dùng những miếng chữ nhật với diện tích lẻ như 5, 9, hay 15,

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

bạn sẽ cần một miếng có diện tích lẻ khác để đạt được một tổng chẵn

With all that in mind, let’s see what works.

Với tất cả những điều đó, hãy xem chuyện gì xảy ra.

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

Bắt đầu từ diện tích 20 hay lớn hơn khiến ta nhanh chóng vượt quá giới hạn.

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

Nhưng ta có thể đạt được 64 sử dụng những miếng (có diện tích) từ 14-18,

leaving out 15.

ngoại trừ 15.

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

Đáng tiếc, không có cách để xếp chúng vừa khít (khung hình).

Using the 2x7 leaves a gap

Sử dụng cỡ 2x7 sẽ tạo một khoảng trống

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

chỉ có thể được lấp bởi một miếng chữ nhật có chiều rộng là 1.

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

Nhỏ hơn nữa, phạm vi (diện tích) phù hợp là từ 8 đến 14,

leaving out the 3x3 square.

ngoại trừ miếng hình vuông 3x3.

This time, the pieces fit.

Lần này, các miếng vừa khít nhau.

That’s a score of 6.

Lần này có điểm 6.

Can we do even better?

Liệu ta có thể làm tốt hơn?

No.

Không.

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

Chúng ta có thể đạt điểm tương tự bằng cách bỏ miếng cỡ 2x7 và 1x8

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

và thay thế chúng bằng một miếng cỡ 3x3, 1x7 và 1x6.

But if we go any lower down the list,

Nhưng nếu ta đi xuống dưới danh sách,

the numbers become so small

những con số trở nên quá nhỏ

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

đến nỗi ta cần một phạm vi kích thước rộng hơn để lấp đầy khung tranh,

which would increase the score.

mà sẽ làm tăng điểm số.

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

Không có mẹo hay công thức nào cả - chỉ là một chút trực giác.

It's more art than science.

Nó thiên về nghệ thuật nhiều hơn khoa học.

And for larger grids,

Và với những khung lớn hơn,

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

các chuyên gia toán học không chắc rằng liệu họ đã tìm ra điểm nhỏ nhất có thể.

So how would you divide a 4x4,

Vậy bạn sẽ chia một khung tranh cỡ 4x4,

10x10,

10x10,

hay 32x32 như thế nào?

or 32x32 canvas?

Give it a try and post your results in the comments.

Hãy thử và cho biết kết quả của bạn trong phần bình luận.