Can you solve the Mondrian squares riddle? - Gordon Hamilton

翻訳: Kei Kato 校正: Tomoyuki Suzuki

Dutch artist Piet Mondrian’s abstract, rectangular paintings

オランダの画家ピエト・モンドリアンの 抽象的な長方形の絵画を見た数学者たちは

inspired mathematicians to create a two-fold challenge.

２つの段階からなる問題を 思いつきました

First, we must completely cover a square canvas with non-overlapping rectangles.

まず 正方形のキャンバスに四角形を 重なり合わないように敷き詰めます

All must be unique, so if we use a 1x4, we can’t use a 4x1 in another spot,

全て違う四角形でなければなりません １ｘ４の四角形を使ったら

別の場所では４ｘ１を使えませんが

but a 2x2 rectangle would be fine.

２ｘ２なら問題ありません

Let’s try that.

ちょっとやってみましょう

Say we have a canvas measuring 4x4.

４ｘ４の四角いキャンバスが あるとします

We can’t chop it directly in half,

真ん中でただ２つに 分けることはできません

since that would give us identical rectangles of 2x4.

これでは２ｘ４の同じ四角形が ２つできてしまうからです

But the next closest option - 3x4 and 1x4 - works.

３ｘ４と１ｘ４の四角形なら大丈夫です

That was easy, but we’re not done yet.

ここまでは簡単でしたね でもまだ終わりではありません

Now take the area of the largest rectangle,

次に 最大の四角形の面積から

and subtract the area of the smallest.

最小の四角形の面積を引きます

The result is our score,

その結果がスコアになります

and the goal is to get as low a score as possible.

目標はできるだけ小さいスコアを 出すことです

Here, the largest area is 12 and the smallest is 4,

今の場合 最大の面積が12 最小が４なので

giving us a score of 8.

スコアは８です

Since we didn’t try to go for a low score that time,

さっきはスコアのことを 考えていなかったので

we can probably do better.

おそらくもっとうまく できるでしょう

Let’s keep our 1x4

１ｘ４の四角形はそのままにして

while breaking the 3x4 into a 3x3 and a 3x1.

３ｘ４の四角形を ３ｘ３と３ｘ１に 分解してみましょう

Now our score is 9 minus 3, or 6.

現在のスコアは ９－３で６です

Still not optimal, but better.

まだ最適とは言えませんが さっきよりはいいですね

With such a small canvas, there are only a few options.

このような小さいキャンバスでは 選択肢はあまりありません

But let’s see what happens when the canvas gets bigger.

では もっと大きいキャンバスでは どうなるか見てみましょう

Try out an 8x8; what’s the lowest score you can get?

８ｘ８のキャンバスで考えてみてください 最も小さなスコアはいくつになるでしょうか

Pause here if you want to figure it out yourself.

自分で考えてみたい人は ここで一時停止してください

Answer in: 3

答えまで：３

Answer in: 2

答えまで：２

Answer in: 1

答えまで：１

To get our bearings, we can start as before:

手始めに 前と同じように

dividing the canvas roughly in two.

キャンバスをほぼ等しくなるよう ２つに分けてみます

That gives us a 5x8 rectangle with area 40

これで 面積40の５ｘ８の四角形と

and a 3x8 with area 24,

面積24の３ｘ８の四角形ができて

for a score of 16.

スコアは16となります

That’s pretty bad.

かなり悪いスコアですね

Dividing that 5x8 into a 5x5 and a 5x3 leaves us with a score of 10.

５ｘ８の四角形を５ｘ５と５ｘ３に分けると スコアは10になります

Better, but still not great.

前よりはましですが まだまだです

We could just keep dividing the biggest rectangle.

このまま最も大きな四角形を 分け続けることもできます

But that would leave us with increasingly tiny rectangles,

しかし そうすると ますます小さな四角形ができ

which would increase the range between the largest and smallest.

最大と最小の差を広げることになります

What we really want

私たちの目的は

is for all our rectangles to fall within a small range of area values.

使用する四角形の面積の範囲を 狭めることです

And since the total area of the canvas is 64,

キャンバスの総面積は64なので

the areas need to add up to that.

四角形の面積の合計が 64にならないといけません

Let’s make a list of possible rectangles and areas.

候補となる四角形とその面積を 一覧にしましょう

To improve on our previous score,

さきほどのスコアより小さくするために

we can try to pick a range of values spanning 9 or less

例えば面積が９までの四角形を使い

and adding up to 64.

足して64になるか 試してみることが出来ます

You’ll notice that some values are left out

また 除外できるものがあることが わかるでしょうか

because rectangles like 1x13 or 2x9 won’t fit on the canvas.

１ｘ13や２ｘ９などは キャンバスに収まらないですからね

You might also realize

まだあります

that if you use one of the rectangles with an odd area like 5, 9, or 15,

５、９、15のように 面積が奇数の四角形を使うと

you need to use another odd-value rectangle to get an even sum.

合計を偶数にするために 面積が奇数の四角形がもう１つ必要になります

With all that in mind, let’s see what works.

これらのことを全て頭に入れて 考えてみましょう

Starting with area 20 or more puts us over the limit too quickly.

面積が20以上のところから始めてしまうと すぐに上限を超えてしまいます

But we can get to 64 using rectangles in the 14-18 range,

しかし 面積が14から18の範囲の 四角形を足して64にすることができます

leaving out 15.

面積15の四角形は使いません

Unfortunately, there’s no way to make them fit.

あいにく これらの四角形を キャンバスに収める方法はありません

Using the 2x7 leaves a gap

２ｘ７の四角形を使うと

that can only be filled by a rectangle with a width of 1.

幅が１の四角形でしか 埋められない場所ができるからです

Going lower, the next range that works is 8 to 14,

より小さな値を見ていくと 次に条件に合う範囲は８から14です

leaving out the 3x3 square.

３ｘ３の四角形は使いません

This time, the pieces fit.

今回はおさまりました

That’s a score of 6.

この時スコアは６です

Can we do even better?

もっと良くできるでしょうか？

No.

できません

We can get the same score by throwing out the 2x7 and 1x8

２ｘ７と１ｘ８の四角形を使わず

and replacing them with a 3x3, 1x7, and 1x6.

３ｘ３、１ｘ７、１ｘ６で置き換えると 同じスコアを得ることができます

But if we go any lower down the list,

しかし 一覧のもっと下にいくと

the numbers become so small

面積がとても小さくなるので

that we’d need a wider range of sizes to cover the canvas,

キャンバスを埋めるために 面積の幅を広げる必要が出てきて

which would increase the score.

スコアが大きくなります

There’s no trick or formula here – just a bit of intuition.

なんのトリックも数式もありません ちょっとした直感です

It's more art than science.

科学と言うよりも芸術です

And for larger grids,

もっと大きな四角形では

expert mathematicians aren’t sure whether they’ve found the lowest possible scores.

優れた数学者たちですら得られたスコアが 最小かどうか確かめられません

So how would you divide a 4x4,

あなたなら４ｘ４

10x10,

10ｘ10

or 32x32 canvas?

32ｘ32のキャンバスを どのように分けますか？

Give it a try and post your results in the comments.

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