Can you solve the Leonardo da Vinci riddle? - Tanya Khovanova

翻译人员: Nancy Xu 校对人员: Zhao Harry

You’ve found Leonardo Da Vinci’s secret vault,

你找到了列奥纳多·达·芬奇 的秘密地下室，

secured by a series of combination locks.

地下室门口有一连串密码锁。

Fortunately, your treasure map has three codes:

幸运的是，你的寻宝地图上 有三串密码：

1210,

1210，

3211000,

3211000，

and… hmm.

还有，呃...

The last one appears to be missing.

最后一串好像看不清了。

Looks like you’re gonna have to figure it out on your own.

看起来你只能 自己推断一下这串数字了。

There’s something those first two numbers have in common:

前两串数字有一些相似之处：

they’re what’s called autobiographical numbers.

这种数字叫作“自我描述数”，

This is a special type of number whose structure describes itself.

其特点是能够描述本身的数字结构。

Each of an autobiographical number’s digits

自我描述数的每一位数字

indicates how many times

代表了

the digit corresponding to that position occurs within the number.

这一位置对应的数字 在整个数中出现的次数。

The first digit indicates the quantity of zeroes,

第一位数表示数字0的个数，

the second digit indicates the number of ones,

第二位数表示数字 1 的个数，

the third digit the number of twos, and so on until the end.

第三位数表示数字 2 的个数， 之后的位数以此类推。

The last lock takes a 10 digit number,

第三行锁有十位数，

and it just so happens

巧合的是，

that there’s exactly one ten-digit autobiographical number.

正好有唯一的十位的自我描述数。

What is it?

这个数是多少呢？

Pause here if you want to figure it out for yourself!

【如果你想要自己推导一下， 请在这里暂停】

Answer in: 3

【答案即将揭晓：3】

Answer in: 2

【答案即将揭晓：2】

Answer in: 1

【答案即将揭晓：1】

Blindly trying different combinations would take forever.

盲目尝试不同数字组合 恐怕要试到地老天荒。

So let’s analyze the autobiographical numbers we already have

所以我们先分析一下 已有的这两组自我描述数

to see what kinds of patterns we can find.

来看看我们能找到什么规律。

By adding all the digits in 1210 together,

把 1210 的每位数加起来

we get 4 – the total number of digits.

得到的和是4。

This makes sense since each individual digit

这个结果的意义在于，

每一位数字告诉了我们 特定一个数字在整数中出现的次数。

tells us the number of times a specific digit occurs within the total.

So the digits in our ten-digit autobiographical number

所以我们的这个 十位数的自我描述数，

must add up to ten.

每一位数加起来的和一定是10。

This tells us another important thing –

这同时告诉了我们 另一个关键信息——

the number can’t have too many large digits.

这个数字不能有太多的大数，

For example,

比如，

if it included a 6 and a 7,

假如这个数字有一个6和一个7，

then some digit would have to appear 6 times,

那么有的数字需要出现6次，

and another digit 7 times–

另一个数字要出现7次——

making more than 10 digits.

这样加起来就超过了十位数。

We can conclude that there can be no more

所以我们可以判断出

than one digit greater than 5 in the entire sequence.

整个十位数里 不会有超过一位大于5的数。

So out of the four digits 6, 7, 8, and 9,

所以在6，7，8，9这四个数中，

only one – if any-- will make the cut.

最多只能出现一个， 才能满足这一标准。

And there will be zeroes in the positions

而且，这十位数里会有0，

corresponding to the numbers that aren’t used.

代表了没有用到的数字。

So now we know that our number must contain at least three zeroes –

所以现在我们知道了 这个数至少要有三个0——

which also means that the leading digit must be 3 or greater.

这就意味着首位数不能小于 3。

Now, while this first digit counts the number of zeroes,

既然这个首位数表示 0 出现的次数，

every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs.

那么在它之后的每一位数表示的 就是一个非零数出现的次数。

If we add together all the digits besides the first one –

如果我们把首位数后 的每位数都加起来——

and remember, zeroes don’t increase the sum –

注意，0 不会影响总和——

we get a count of how many non-zero digits appear in the sequence,

我们会得到整个十位数中 非零数出现了多少个，

including that leading digit.

包括首位数。

For example, if we try this with the first code,

举个例子，如果我们 把第一串数这样加和，

we get 2 plus 1 equals 3 digits.

我们得到 2+1=3，三个数。

Now, if we subtract one,

那么如果我们减 1，

we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit –

就会得到在首位数之后 出现的非零数的个数，

two, in our example.

在这个例子中也就是 2。

Why go through all that?

为什么要这么处理数字呢？

Well, we now know something important:

注意，我们现在 掌握了一个关键信息：

the total quantity of non-zero digits that occur after the first digit

在首位数后出现的非零数的总数

is equal to the sum of these digits, minus one.

等于这些数的总和减一。

And how can you get a distribution where the sum is exactly 1 greater

那么你要如何得到一个数， 使它的各位数之和正好比

than the number of non-zero positive integers being added together?

非零正数的总和大 1 呢？

The only way is for one of the addends to be a 2,

唯一的办法是使加数之一为 2，

and the rest 1s.

其余的都是 1。

How many 1s?

那么是多少个 1 呢？

Turns out there can only be two –

看起来只能有两个 1 ——

any more would require additional digits like 3 or 4 to count them.

因为一旦超过两个，就会出现 3 或 4 等 其他的数字用以表示 1 的出现次数。

So now we have the leading digit of 3 or greater counting the zeroes,

所以现在我们知道第一位数是 不小于 3 的表示 0 出现次数的数，

a 2 counting the 1s,

还有表示 1 出现次数的数字 2，

and two 1s –

还有两个 1 ——

one to count the 2s

表示 2 出现的次数，

and another to count the leading digit.

还有另一个表示第一位数 出现次数的数。

And speaking of that,

说到这里，

it’s time to find out what the leading digit is.

我们应该来推断一下首位数了。

Since we know that the 2 and the double 1s have a sum of 4,

既然我们知道 2 和两个 1 的总和是 4，

we can subtract that from 10 to get 6.

我们可以用 10 减掉 4，得到 6，

Now it’s just a matter of putting them all in place:

现在就是如何排列它们的问题了：

6 zeroes,

六个 0，

2 ones,

两个 1，

1 two,

一个 2，

0 threes,

零个 3，

0 fours,

零个 4，

0 fives,

零个 5，

1 six,

一个 6，

0 sevens,

零个 7，

0 eights,

零个 8，

and 0 nines.

零个 9。

The safe swings open, and inside you find...

守护之翼张开，走进去你发现了...

Da Vinci’s long-lost autobiography.

达芬奇失传已久的自传。