The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Prevodilac: Dragana Stanojevic Lektor: Ivana Korom

When the Wright brothers had to decide

Када су Браћа Рајт морала да одлучe

who would be the first to fly their new airplane

ко ће први летети њиховим новим авионoм

off a sand dune, they flipped a coin.

са пешчане дине, бацили су новчић.

That was fair:

То је поштено:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

сви знамо да постоји једнака шанса да падне глава или писмо.

But what if they had a more complicated contest?

А шта да је борба била компликованија?

What if they flipped coins repeatedly,

Шта ако би више пута бацали новчиће,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

тако да Орвил победи чим се појаве у низу две главе на новчићу,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

Вилбур би победио чим би прво добио главу, а одмах затим писмо.

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Да ли би сваки брат имао једнаке шансе да први полети?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

На први поглед изгледа да и даље имају исту шансу да победе.

There are four combinations for two consecutive flips.

Постоје четири комбинације за два узастопна бацања.

And if you do flip a coin just twice,

А ако само два пута бациш новчић,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

постоји једнака шанса за сваку од њих - 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Ваша интуиција може вам рећи да у сваком низу бацања новчића,

each combination would have the same shot at appearing first.

свака комбинација би имала исту шансу да се прва појави.

Unfortunately, you’d be wrong.

Нажалост, погрешили бисте.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Вилбур заправо има велику предност на овом такмичењу.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Замислите наш низ новчића као неку друштвену игру на табли,

where every flip determines which path we take.

где свако бацање одређује којим путем идемо.

The goal is to get from start to finish.

Сврха игре је стићи од старта до циља.

The heads/tails board looks like this.

Глава/писмо табла изгледа овако.

And this is the head/head board.

А ово је табла глава/глава.

There’s one critical difference.

Постоји једна битна разлика.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Глава/глава има потез који те враћа назад на почетак,

that heads/tails doesn’t have.

који глава/писмо нема.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Зато глава/глава у просеку траје дуже.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Можемо доказати да је ово истина користећи вероватноћу и алгебру

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

за израчунавање просечног броја бацања потребног за добијање сваке комбинације.

Let’s start with the heads/tails board,

Хајде да почнемо са глава/писмо таблом,

and define x to be the average number of flips to advance one step.

и дефинишимо x као просечни број бацања за напредовање у једном кораку.

Focus only on the arrows.

Фокусирај се само на стрелице.

It has two identical steps,

Постоје два идентична корака,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

сваки са 50/50 шансе да играч остане у месту или се креће напред.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Опција 1: Ако останемо на месту добијањем писма, потрошили смо једно бацање.

Since we’re back in the same place,

Пошто смо на истом месту,

on average we must flip x more times to advance one step.

у просеку морамо бацити x пута више да бисмо напредовали један корак.

Together with that first flip,

Заједно с тим првим бацањем,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

добијамо просек x + 1 укупног броја бацања за напредовање.

Option 2: If we get heads and move forward,

Опција 2: Ако добијемо главе и кренемо напред,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

онда смо имали тачно једно бацање како бисмо ишли један корак унапред.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Сада можемо комбиновати опцију 1 и опцију 2 са њиховим вероватноћама

to get this expression.

да добијемо овај израз.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Решавањем израза по x добијамо просек од два потеза за један корак унапред.

Since each step is identical,

Пошто је сваки корак идентичан,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

можемо помножити са два и добити четири бацања како бисмо напредовали два корака.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

За главу/главу, слика није тако једноставна.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Сада нека је y просечан број бацања за кретање од почетка до краја.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Постоје две опције за први потез, сваки са шансом 50/50.

Option 1 is the same as before,

Опција 1 је иста као и раније,

getting tails sends us back to the start,

добијање писма нас враћа на почетак,

giving an average of y+1 total flips to finish.

дајући просек y + 1 од укупног броја бацања до краја.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

У опцији 2, постоје два једнако вероватна случаја за следеће бацање.

With heads we’d be done after two flips.

Са главама завршили бисмо после два бацања.

But tails would return us to the start.

Али писма нас враћају на почетак.

Since we’d return after two flips,

Пошто смо се вратили након два бацања,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

онда нам треба у просеку укупно y + 2 бацања до краја.

So our full expression will be this.

Дакле, наш израз ће бити овакав.

And solving this equation gives us six flips.

И решавање ове једначине даје шест бацања.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Израчунали смо да је у просеку потребно 6 бацања да бисмо добили глава/глава

and an average of four to get heads/tails.

и просечно четири бацања да бисмо добили глава/писмо.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Заправо, то је оно што бисте добили да сте га сами тестирали довољно пута.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Наравно, Браћа Рајт нису морала све ово да раде;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

они су само једном бацили новчић, и Вилбур је победио.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Али то није било битно: Вилбуров лет није успео,

and Orville made aviation history, instead.

а Орвил је ушао у историју авијације.

Tough luck, Wilbur.

Лоша срећа, Вилбур.