The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

번역: Yoonkeun Ji 검토: Jihyeon J. Kim

When the Wright brothers had to decide

라이트 형제는 모래 사구에서 이륙할 그들의 첫 번째

who would be the first to fly their new airplane

비행기를 누가 탈지 결정할 때

off a sand dune, they flipped a coin.

동전 던지기로 결정했습니다.

That was fair:

아주 공평한 방법이었죠.

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

윗면과 뒷면이 나올 확률이 각각 5대 5로 아주 공평해요.

But what if they had a more complicated contest?

하지만 동전을 여러 번 던지면 어떻게 될까요?

What if they flipped coins repeatedly,

동전을 계속 해서 던진 다음

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

동전이 두 번 연속 윗면일 때 오빌이 이기고

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

윗면 다음 아랫면이 나와야 윌버가 이긴다면

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

그래도 조건이 여전히 공평하다고 할 수 있을까요?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

얼핏 보기엔 공평해 보일지도 모릅니다.

There are four combinations for two consecutive flips.

두 개의 결과에 네 가지 조합이 존재하죠.

And if you do flip a coin just twice,

만약 단순히 동전을 두 번 던지기만 한다면

there’s an equal chance of each one -- 25%.

각각의 경우의 수가 나올 확률은 4분의 1이 되겠죠.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

여러분의 직관은 어떤 조합을 선택하든

each combination would have the same shot at appearing first.

처음은 윗면이니 똑같은 횟수가 소요될거라 생각하겠지만

Unfortunately, you’d be wrong.

안타깝게도 틀렸습니다.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

윌버가 사실 훨씬 유리합니다.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

동전던지기를 일종의 보드게임이라고 생각해 보세요.

where every flip determines which path we take.

한 번 던질 때마다 어디로 이동할 지 정할 수 있다고 말이죠.

The goal is to get from start to finish.

목표는 시작부터 종점까지 이동하는 것입니다.

The heads/tails board looks like this.

윗면-아랫면 말판은 이렇게 생겼습니다.

And this is the head/head board.

윗면-윗면 말판은 이렇게 생겼고요.

There’s one critical difference.

한 가지 큰 차이점이 있는데요.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

윗면-윗면 말판에서는 실패하면 시작으로 이동합니다.

that heads/tails doesn’t have.

윗면-아랫면에서는 그렇지 않죠.

That’s why heads/heads takes longer on average.

평균적으로 윗면-윗면이 더 많은 시간을 소요하게 됩니다.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

각각 조합에 얼마나 많은 횟수가 소요되는지

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

확률과 대수학을 통해서도 증명할 수 있는데요.

Let’s start with the heads/tails board,

먼저 윗면-아랫면 말판으로 시작하죠.

and define x to be the average number of flips to advance one step.

다음 단계로 나가는데 걸린 평균 횟수를 X라고 한 뒤

Focus only on the arrows.

화살표만 보도록 하죠.

It has two identical steps,

두 가지 동일한 길이 있고

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

각각 반반의 확률로 앞으로 나아가거나 그자리에 그대로 서게 됩니다.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

윗면-윗면: 뒷면이 나와 그대로 서게 되면 한 번 기회를 날린 것이 됩니다.

Since we’re back in the same place,

다시 처음으로 돌아가기 때문에

on average we must flip x more times to advance one step.

X회 더 던져야 한 걸음 나아갈 수 있습니다.

Together with that first flip,

처음 실패한 던지기를 포함하면

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

앞으로 나가기 위해 평균 x+1회가 소요되는 꼴이죠.

Option 2: If we get heads and move forward,

2단계: 윗면이 나와 앞으로 전진했을 때

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

앞으로 전진하기 위해 1번밖에 소요되지 않았습니다.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

1번과 2번의 확률을 조합하면

to get this expression.

다음 공식을 얻을 수 있습니다.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

이 방정식을 풀면 x는 2가 되죠.

Since each step is identical,

두 단계가 동일하기 때문에

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

위의 값을 다시 2로 곱하면 끝까지 전진하기 위해 필요한 횟수는 4번입니다.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

윗면-윗면 말판에서는 그리 간단하지 않죠.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Y가 시작부터 종점까지 걸리는 평균 횟수라고 가정하면

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

첫 번째 이동에는 50대 50의 두 가지 길이 있습니다.

Option 1 is the same as before,

윗면-윗면에서는 아까처럼

getting tails sends us back to the start,

뒷면이 나와서 시작으로 돌아가는 경우

giving an average of y+1 total flips to finish.

다음으로 이동하기 위해서는 평균 y+1번이 소요됩니다.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

윗면-아랫면에서는 두 가지 동일한

With heads we’d be done after two flips.

윗면이 나오면 2번만에 종점에 도착하지만

But tails would return us to the start.

뒷면이 나오면 다시 시작으로 돌아갑니다.

Since we’d return after two flips,

두 번 던진 이후 돌아왔으므로

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

종점까지 가려면 y+2번 걸리게 됩니다.

So our full expression will be this.

종합하자면 다음과 같습니다.

And solving this equation gives us six flips.

이 방정식을 풀면 답은 6이 되죠.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

수학적으로 윗면-윗면이 나오려면 6번을 던져야 하고

and an average of four to get heads/tails.

윗면-아랫면은 4번입니다.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

여러분이 충분한 횟수로 시험해보면 위와 같은 결과를 얻게 될 겁니다.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

물론 라이트 형제가 이렇게 복잡한 과정을 거치진 않았죠.

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

동전은 한 번만 던졌고, 윌버가 이겼습니다.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

하지만 누가 이겼는지는 중요하지 않았죠, 윌버의 비행은 실패했고

and Orville made aviation history, instead.

오빌이 항공 역사에 이름을 남겼죠.

Tough luck, Wilbur.

운이 없었네요, 윌버.