The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Shai Hakim

When the Wright brothers had to decide

כשהאחים רייט היו צריכים להחליט

who would be the first to fly their new airplane

מי יהיה הראשון להטיס את המטוס שלהם

off a sand dune, they flipped a coin.

מעל דיונת החול, הם הטילו מטבע.

That was fair:

זה היה הוגן:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

כולנו יודעים שיש סיכוי שווה לקבל עץ או פאלי.

But what if they had a more complicated contest?

אבל מה אם היתה להם תחרות יותר מורכבת?

What if they flipped coins repeatedly,

מה עם הם היו מטילים את המטבע שוב ושוב,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

כך שאורוויל היה זוכה אם שני עצים היו מופיעים אחד אחרי השני,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

וווילבור היה זוכה אם עץ היה מופיע מייד אחרי פלי?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

האם לכל אח היה סיכוי זהה להיות הטייס הראשון?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

בהתחלה, זה נראה כאילו עדיין יש סיכוי שווה לזכות.

There are four combinations for two consecutive flips.

יש ארבע צרופים אפשריים לשתי הטלות חוזרות.

And if you do flip a coin just twice,

ואם תטילו את המטבע רק פעמיים,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

יש סיכוי זהה לכל אחד - 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

אז האינטואיציה שלכם אולי תגיד לכם שבכל רצף הטלות של מטבע,

each combination would have the same shot at appearing first.

לכל צרוף יהיה את אותו סיכוי להופיע ראשון.

Unfortunately, you’d be wrong.

למרבה הצער, אתם תטעו.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

לווילבור למעשה יש יתרון גדול בתחרות הזו.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

דמיינו את רצף הטלת המטבע כסוג של משחק קופסה,

where every flip determines which path we take.

בו כל הטלה קובעת איזה מסלול אנחנו לוקחים.

The goal is to get from start to finish.

המטרה היא להגיע מההתחלה לסוף.

The heads/tails board looks like this.

לוח העץ פאלי נראה ככה.

And this is the head/head board.

וזה וזה לוח העץ/עץ.

There’s one critical difference.

יש הבדל אחד קריטי.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

לעץ/עץ יש מהלך ששולח אתכם כל הדרך חזרה להתחלה

that heads/tails doesn’t have.

שלעץ/פאלי אין.

That’s why heads/heads takes longer on average.

לכן לעץ/עץ לוקח יותר זמן בממוצע.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

אז אנחנו יכולים להדגים שזה נכון בשימוש בהסתברות ואלגברה

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

כדי לחשב את המספר הממוצע של הטלות שיקח כדי להגיע לכל צרוף.

Let’s start with the heads/tails board,

בואו נתחיל עם לוח העץ/פאלי,

and define x to be the average number of flips to advance one step.

ונגדיר את X כממוצע ההטלות כדי להתקדם צעד אחד.

Focus only on the arrows.

התמקדו רק בחיצים.

It has two identical steps,

יש לו שני צעדים זהים,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

כל אחד עם סיכוי של 50/50 להשאר במקום או לנוע קדימה.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

אופציה ראשונה: אם אנחנו נשארים במקום בלקבל פאלי, אנחנו מבזבזים הטלה אחת.

Since we’re back in the same place,

מאחר ואנחנו חזרה באותו מקום,

on average we must flip x more times to advance one step.

בממוצע אנחנו צריכים להטיל X יותר פעמים כדי להתקדם צעד אחד.

Together with that first flip,

יחד עם ההטלה הראשונה,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

זה נותן לנו ממוצע של X+1 הטלות סך הכל כדי להתקדם.

Option 2: If we get heads and move forward,

אפשרות שניה: אם נקבל עץ וננוע קדימה,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

אז לקח לנו בדיוק הטלה אחת כדי לנוע צעד אחד.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

אנחנו יכולים עכשיו לשלב את אפשרות 1 ואפשרות 2 עם ההסתברויות שלהן

to get this expression.

כדי לקבל את הביטוי.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

פתירה של זה עבור X נותנת לנו ממוצע של שני מהלכים כדי להתקדם צעד אחד.

Since each step is identical,

מאחר וכל צעד זהה,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

אנחנו יכולים להכפיל בשתיים ולהגיע לארבע הטלות כדי להתקדם שני צעדים.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

לעץ/עץ, התמונה לא כל כך פשוטה.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

הפעם, Y יהיה המספר הממוצע של הטלות כדי לנוע מהתחלה לסוף.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

יש שתי אפשרויות למהלך הראשון, כל אחד עם הסתברות של 50/50.

Option 1 is the same as before,

אפשרות ראשונה היא כמו מקודם,

getting tails sends us back to the start,

לקבל פאלי לוקח אותנו חזרה להתחלה,

giving an average of y+1 total flips to finish.

מה שנותן לנו ממוצע של Y+1 הטלות סך הכל כדי לסיים.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

באפשרות השניה, יש שני מקרים עם אותה הסתברות להטלה הבאה.

With heads we’d be done after two flips.

עם עץ נסיים אחרי שתי הטלות.

But tails would return us to the start.

אבל פאלי יחזיר אותנו להתחלה.

Since we’d return after two flips,

מאחר ונחזור אחרי שתי הטלות,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

אז נצטרך ממוצע של Y+2 הטלות כדי לסיים.

So our full expression will be this.

אז הביטוי המלא שלנו יראה ככה.

And solving this equation gives us six flips.

ופתירת המשוואה נותנת לנו שש הטלות.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

אז המתמטיקה מראה שלוקח ממוצע של שש הטלות לקבל עץ/עץ,

and an average of four to get heads/tails.

וממוצע של ארבע כדי לקבל עץ/פאלי.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

ולמעשה, זה מה שתראו אם תבחנו את זה בעצמכם מספיק פעמים.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

כמובן, האחים רייט לא היו צריכים לחשב את זה;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

הם הטילו את המטבע רק פעם אחד, ווילבור זכה.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

אבל זה לא שינה, הטיסה של ווילבור נכשלה,

and Orville made aviation history, instead.

ואורוויל יצר הסטוריה תעופתית, במקום.

Tough luck, Wilbur.

אין מזל, ווילבור.