The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

المترجم: Mohamed Elamgad المدقّق: Abd Al-Rahman Al-Azhurry

When the Wright brothers had to decide

عندما اضطر الأخوان (رايت) إلى تحديد

who would be the first to fly their new airplane

من منهما سيحلق أولًا بطائرتهم الجديدة

off a sand dune, they flipped a coin.

من فوق كثيب رملي، لجآ إلى رمي العملة المعدنية

That was fair:

كان ذلك منصفًا

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

كلنا نعرف أنه ثمة فرصاً متكافئةً للحصول على كلٍ من الطرة والنقش

But what if they had a more complicated contest?

ولكن ماذا لو كانت المنافسة بينهما أكثر تعقيدًا من ذلك؟

What if they flipped coins repeatedly,

ماذا لو رميا العملات النقدية بشكل متكرر،

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

بحيث يفوز (أورفيل) بمجرد أن يحصل على الطرة مرتين متتاليتين بعملته،

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

ويفوز (ويلبر) بمجرد أن يحصل على الطرة وبعدها النقشة مباشرة بعملته؟

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

هل ستزال فرص كل منهما متكافئة للفوز بالقيام بالرحلة الأولى؟

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

من الوهلة الأولى، سيبدو الأمر وكأن فرصهما للفوز متكافئة

There are four combinations for two consecutive flips.

يوجد أربع مجموعات لكل رميتين متتاليتين

And if you do flip a coin just twice,

وإذا رميت عملة معدنية مرتين فحسب،

there’s an equal chance of each one -- 25%.

ستكون فرصة ظهور كل واحدة منهم 25%

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

لذلك قد يخبرك حدسك أنه في أي سلسلة من رميات العملات

each combination would have the same shot at appearing first.

ستحصل كل مجموعة على الفرص ذاتها للظهور أولًا

Unfortunately, you’d be wrong.

مع الأسف، ستكون مخطئًا

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

يملك (ويلبر) الأفضلية في هذه المنافسة

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

تخيل أن تسلسل رمي العملة لعبة لوحية

where every flip determines which path we take.

حيث تحدد كل رمية المسار الذي سنسلكه

The goal is to get from start to finish.

الهدف هو العبور من البداية حتى النهاية

The heads/tails board looks like this.

يبدو لوح الطرة والنقشة هكذا

And this is the head/head board.

أما لوح الطرة والطرة فيبدو هكذا

There’s one critical difference.

ثمة فرق جوهري واحد بينهما

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

يوجد بلوح الطرة والطرة حركة ترسلك إلى البداية مجددًا

that heads/tails doesn’t have.

أما لوح الطرة والنقشة فلا يحتوي عليها

That’s why heads/heads takes longer on average.

لهذا السبب يأخذ لوح الطرة والطرة وقتًا أطول في المتوسط

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

يمكننا أن نوضح صحة ذلك باستخدام الاحتمالات وعلم الجبر

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

لحساب متوسط عدد الرميات المطلوبة للوصول إلى كل من المجموعتين

Let’s start with the heads/tails board,

لنبدأ بلوح الطرة والطرة،

and define x to be the average number of flips to advance one step.

ونُعرّف "س" على أنها متوسط عدد الرميات للتقدم خطوة واحدة

Focus only on the arrows.

ركز على الأسهم فحسب

It has two identical steps,

يوجد خطوتان متماثلتان،

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

ولكل منهما فرص متساوية من أجل البقاء أو التقدم إلى الأمام

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

الخيار الأول: إذا حصلنا على النقشة وبقينا بالمكان ذاته، نهدر رمية واحدة

Since we’re back in the same place,

وبما أننا قد عدنا إلى المكان ذاته،

on average we must flip x more times to advance one step.

بالمتوسط سيكون علينا رمي "س" عدد مرات أكثر للتقدم خطوة واحدة

Together with that first flip,

بالإضافة إلى تلك الرمية الأولى،

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

يعطينا ذلك متوسط عدد رميات "س + 1" للتقدم

Option 2: If we get heads and move forward,

الخيار الثاني: إذا حصلنا على الطرة وتقدمنا إلى الأمام،

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

سنكون قد استخدمنا رمية واحدة فحسب للتقدم خطوة واحدة

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

يمكننا الآن إضافة الخيار الأول والثاني إلى احتمالاتهما

to get this expression.

للتوصل إلى هذا المقدار

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

وبحل معادلة "س" هذه نتوصل إلى متوسط حركتين للتقدم خطوة واحدة

Since each step is identical,

وبما أن كل خطوة ستكون مماثلة،

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

يمكننا الضرب في اثنين والتوصل إلى عدد أربع حركات للتقدم خطوتين

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

أما بالنسبة لمجموعة الطرة والطرة، الأمر ليس بالبساطة نفسها

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

هذه المرة، لنعرف "ع" على أنه متوسط عدد الرميات للعبور من البداية حتى النهاية

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

يوجد خياران للحركة الأولى، وفرصة كل منهما في الحدوث 50%

Option 1 is the same as before,

الخيار الأول تمامًا كما سبق،

getting tails sends us back to the start,

الحصول على النقشة يعيدنا إلى البداية،

giving an average of y+1 total flips to finish.

مما يعطينا متوسط عدد رميات "ع + 1" للوصول إلى النهاية

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

أما بالخيار الثاني، فيوجد حالتان متكافئتا الحدوث للرمية التالية

With heads we’d be done after two flips.

فالحصول على الطرة يعني الانتهاء بعد رميتين

But tails would return us to the start.

أما الحصول على النقشة فيعني عودتنا إلى البداية

Since we’d return after two flips,

وبما أننا سنعود بعد رميتين،

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

سنكون بحاجة إلى متوسط عدد رميات "ع + 2" للوصول إلى النهاية

So our full expression will be this.

لذلك سيكون المقدار النهائي هكذا

And solving this equation gives us six flips.

وحل هذه المعادلة يعطينا 6 رميات

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

وعليه تقدر الحسابات الرياضية أن الحصول على الطرة والطرة يتطلب متوسط 6 رميات

and an average of four to get heads/tails.

والحصول على الطرة والنقشة يتطلب متوسط 4 رميات

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

وبالواقع، هذا ما ستتوصل إليه إذا جربت الأمر بنفسك مرات كافية

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

بالطبع، الأخوان (رايت) لم يكونا بحاجة للقيام بكل هذا

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

قاما برمي العملة المعدنية مرة واحدة وفاز (ويلبر)

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

لم يهم الأمر كثيرًا: فقد فشلت رحلة طيران (ويلبر)،

and Orville made aviation history, instead.

وصنع (أورفيل) تاريخ الطيران بدلًا منه

Tough luck, Wilbur.

كان حظك عسيرًا يا (ويلبر)

إن استمتعت بهذا الدرس، تفقد الدروس في هذه اللائحة