The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Prevoditelj: Irma Komljenović Recezent: Ivan Stamenković

When the Wright brothers had to decide

Kada su braća Wright morala odlučiti

who would be the first to fly their new airplane

tko će prvi letjeti u njihovom novom zrakoplovu sa pješčane dine,

off a sand dune, they flipped a coin.

bacali su novčić.

That was fair:

Bilo je pravedno:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

svi znamo da postoji jednaka šansa dobivanja pisma ili glave.

But what if they had a more complicated contest?

No što bi bilo kad bi se radilo o složenijem natjecanju?

What if they flipped coins repeatedly,

Što bi bilo da su uzastopno više puta bacali novčiće,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

tako da Orville pobjeđuje kada se pojave dvije glave zaredom na njegovom novčiću,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

a Wilbur kada odmah nakon glave dobije pismo?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Bi li obojica braće imala jednaku šansu biti onaj koji će prvi letjeti?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

Isprva bi se možda činilo da imaju jednake šanse za pobjedom.

There are four combinations for two consecutive flips.

Postoje četiri kombinacije za dva uzastopna bacanja novčića.

And if you do flip a coin just twice,

Ako baciš novčić samo dvaput,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

postoji jednaka šansa svake od njih - 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Intuicija bi ti mogla reći da u bilo kojem nizu bacanja novčića,

each combination would have the same shot at appearing first.

svaka bi kombinacija imala jednaku vjerojatnost pojaviti se prva.

Unfortunately, you’d be wrong.

Nažalost, bio bi u krivu.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Wilbur zapravo ima veliku prednost u ovom natjecanju.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Zamisli da je niz bacanja novčića neka vrsta igre na ploči,

where every flip determines which path we take.

u kojoj svako bacanje određuje put kojim ćemo ići.

The goal is to get from start to finish.

Cilj je dospjeti od starta do cilja.

The heads/tails board looks like this.

Glava/pismo ploča izgleda ovako,

And this is the head/head board.

a ovo je glava/glava ploča.

There’s one critical difference.

Postoji jedna presudna razlika.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Glava/glava ploča ima pokret koji te pošalje do samog starta

that heads/tails doesn’t have.

koji glava/pismo ploča nema.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Zato je za glava/glava kombinaciju u prosjeku potrebno više vremena.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Možemo demonstrirati točnost toga koristeći vjerojatnost i algebru

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

da izračunamo prosječan broj bacanja nužnih za dobivanje svake od kombinacija.

Let’s start with the heads/tails board,

Počnimo sa glava/pismo pločom

and define x to be the average number of flips to advance one step.

i definirajmo x kao prosječan broj bacanja za pomicanje za jedan korak.

Focus only on the arrows.

Usredotoči se samo na strelice.

It has two identical steps,

Postoje dva identična koraka,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

svaki ima 50% šanse ostajanja na mjestu ili pomicanja naprijed.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Opcija 1: ostanemo li na mjestu dobivanjem pisma, gubimo jedno bacanje.

Since we’re back in the same place,

Pošto smo se vratili na isto mjesto

on average we must flip x more times to advance one step.

u prosjeku moramo baciti novčić još x puta da se pomaknemo za jedan korak.

Together with that first flip,

Zajedno s prvim bacanjem,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

dobivamo prosjek od x + 1 koraka potrebnih za pomak.

Option 2: If we get heads and move forward,

Opcija 2: dobijemo li glavu i pomaknemo li se naprijed,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

bacili smo novčić točno jedanput da se pomaknemo za jedan korak.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Sada možemo spojiti opcije 1 i 2 sa njihovim vjerojatnostima

to get this expression.

kako bismo dobili ovaj izraz.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Rješavanjem izraza za x dobivamo prosječno dva poteza za pomicanje za jedan korak.

Since each step is identical,

Pošto je svaki korak identičan,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

možemo pomnožiti sa dva i doći do 4 bacanja potrebnih za pomak od 2 koraka.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Glava/glava ploča nije tako jednostavna.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Neka y sada bude prosječan broj bacanja novčića za pomak od starta do cilja.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Postoje dvije opcije na prvom potezu, od kojih svaka ima vjerojatnost 50%.

Option 1 is the same as before,

Opcija 1 jednaka je kao i prije,

getting tails sends us back to the start,

dobivanje pisma vraća nas na start,

giving an average of y+1 total flips to finish.

zbog čega u prosjeku imamo y + 1 koraka do cilja.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

U opciji 2 postoje dva jednako vjerojatna slučaja za iduće bacanje.

With heads we’d be done after two flips.

Sa glavom bismo bili gotovi nakon dva bacanja,

But tails would return us to the start.

ali pismo bi nas vratilo na start.

Since we’d return after two flips,

Pošto bismo se vratili nakon dva bacanja,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

u prosjeku bi nam bila potrebna ukupno y + 2 koraka do cilja.

So our full expression will be this.

Ovo bi bio naš puni izraz.

And solving this equation gives us six flips.

Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo šest bacanja.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Matematički izračun kaže da je potrebno prosječno šest bacanja za glava/glava

and an average of four to get heads/tails.

i prosječno četiri za glava/pismo.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Zapravo, to bi i sam vidio da to dovoljno puta isprobaš.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Naravno, braća Wright nisu trebala sve ovo izračunati;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

samo su jednom bacili novčić i Wilbur je pobijedio.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

No to nije bilo važno: Wilburov je let bio neuspjeh,

and Orville made aviation history, instead.

a Orville je umjesto njega zapisan u povijesti avijacije.

Tough luck, Wilbur.

Šteta, Wilbure.