The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Traducteur: Sonia Ahamada Relecteur: eric vautier

When the Wright brothers had to decide

Quand les frères Wright ont dû décider

who would be the first to fly their new airplane

qui serait le premier à piloter leur nouvel avion

off a sand dune, they flipped a coin.

sur une dune de sable, ils ont tiré à pile ou face.

That was fair:

C'était honnête :

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

nous savons tous qu'il y a autant de chances d'obtenir pile ou face.

But what if they had a more complicated contest?

Et s'ils avaient eu un défi plus compliqué ?

What if they flipped coins repeatedly,

Et s'ils tiraient à pile ou face plusieurs fois,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

de sorte qu'Orville gagne en obtenant deux faces de suite,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

et que Wilbur gagne en obtenant un face suivi par pile ?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Chaque frère aurait-il encore eu la même chance d'être le premier à voler ?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

Au début, il peut sembler qu'ils auraient toujours la même chance de gagner.

There are four combinations for two consecutive flips.

Il y a quatre combinaisons pour deux tirages consécutifs.

And if you do flip a coin just twice,

Et si vous tirez à pile ou face deux fois,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

il y a 25 % de chance égale pour chaque tirage.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Ainsi votre intuition pourrait vous dire que dans toute série de tirages,

each combination would have the same shot at appearing first.

chaque combinaison aurait la même chance d'apparaître en premier.

Unfortunately, you’d be wrong.

Malheureusement, vous auriez tort.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Wilbur a un gros avantage dans ce concours.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Imaginez notre séquence de tirages comme un sorte de jeu de société,

where every flip determines which path we take.

où chaque tirage détermine quel chemin nous devons prendre.

The goal is to get from start to finish.

Le but est d'aller du début à la fin.

The heads/tails board looks like this.

Les piles ou faces ressembles à ceci.

And this is the head/head board.

Et voici le jeu pile-pile.

There’s one critical difference.

Il y a une différence essentielle.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Pile-pile a un coup qui vous renvoie au début

that heads/tails doesn’t have.

que le pile-face n'a pas.

That’s why heads/heads takes longer on average.

C'est pour cela que les pile-pile prennent plus de temps en moyenne.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Nous pouvons démontrer que c'est vrai en utilisant la probabilité et l'algèbre

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

pour calculer le nombre moyen de tirages nécessaires pour avoir chaque combinaison,

Let’s start with the heads/tails board,

Commençons par le jeu pile-face,

and define x to be the average number of flips to advance one step.

et définissons x comme étant le nombre moyen de tirages pour avancer d'un pas.

Focus only on the arrows.

Concentrez-vous uniquement sur les flèches

It has two identical steps,

Elle comporte deux étapes identiques,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

chacune ayant une chance égale de rester sur place ou d'avancer.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Option 1 : Si nous restons sur place en obtenant pile, on perd un tirage.

Since we’re back in the same place,

Comme nous sommes revenus au départ,

on average we must flip x more times to advance one step.

en moyenne il faut tirer x fois plus pour avancer d'un pas.

Together with that first flip,

Avec ce premier tirage,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

cela donne une moyenne de x + 1 tirages pour avancer.

Option 2: If we get heads and move forward,

Option 2 : Si nous obtenons face et avançons,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

alors nous avons fait exactement un demi-tour pour avancer d'un pas.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Nous pouvons maintenant combiner les options 1 et 2 avec leurs probabilités

to get this expression.

pour obtenir cette formule.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Résoudre cela par x nous donne une moyenne de deux tirages pour avancer.

Since each step is identical,

Comme chaque étape est identique,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

on peut multiplier par 2 et arriver à 4 tirages pour avancer de deux pas.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Pour les face-face, ce n'est pas aussi simple.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Cette fois, y est le nombre moyen de tirages pour aller du début à la fin.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Il y a deux options pour le premier tirage, chacune avec une chance de 50/50.

Option 1 is the same as before,

L'option 1 est la même qu'avant,

getting tails sends us back to the start,

obtenir pile nous renvoie au départ,

giving an average of y+1 total flips to finish.

ce qui donne une moyenne de y + 1 tirages pour arriver à la fin.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

Dans l'option 2, il y a deux cas également probables pour le prochain tirage.

With heads we’d be done after two flips.

Avec face, on aurait fini après deux tirages.

But tails would return us to the start.

Mais pile nous ramèneraient au début.

Since we’d return after two flips,

Puisqu'on revient après deux tirages,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

il nous faudrait alors une moyenne de y + 2 tirages pour finir.

So our full expression will be this.

Donc, notre formule sera la suivante.

And solving this equation gives us six flips.

Et résoudre cette équation nous donne six tirages.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Ainsi, le calcul mathématique calcule qu'il faut 6 tirages pour face-face.

and an average of four to get heads/tails.

et une moyenne de 4 pour avoir face-pile.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Et, en fait, c'est ce que vous verriez si vous le testiez assez longtemps.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Les frères Wright n'ont pas eu besoin de régler tout cela ;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

ils n'ont tiré la pièce qu'une seule fois et Wilbur a gagné.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Mais ça n'avait pas d'importance : le vol de Wilbur a échoué,

and Orville made aviation history, instead.

et Orville a écrit son nom dans l'histoire de l'aviation.

Tough luck, Wilbur.

Pas de chance, Wilbur.