The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

When the Wright brothers had to decide

Όταν οι αδελφοί Ράιτ έπρεπε να αποφασίσουν

who would be the first to fly their new airplane

ποιος θα πετούσε πρώτος το νέο αεροπλάνο τους

off a sand dune, they flipped a coin.

πάνω από έναν αμμόλοφο, έστριψαν ένα κέρμα.

That was fair:

Ήταν δίκαιο:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

όλοι γνωρίζουμε ότι κεφαλή και γράμματα είναι ισοπίθανα.

But what if they had a more complicated contest?

Αλλά τι θα γινόταν αν είχαν έναν πιο πολύπλοκο διαγωνισμό;

What if they flipped coins repeatedly,

Αν έστριβαν το κέρμα επανειλημμένα,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

ώστε ο Όρβιλ να κέρδιζε όταν έρχονταν δύο συνεχόμενες φορές κεφαλή στο κέρμα του

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

και ο Γουίλμπουρ όταν ερχόταν γράμματα αμέσως μετά από κεφαλή στο δικό του;

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Θα είχε ο καθένας την ίδια πιθανότητα να πετάξει πρώτος;

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

Κατ' αρχάς ίσως φαίνεται ότι και οι δύο θα είχαν την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν.

There are four combinations for two consecutive flips.

Υπάρχουν τέσσερις συνδυασμοί για δύο συνεχόμενα στριψίματα.

And if you do flip a coin just twice,

Και αν στρίψετε ένα κέρμα μόνο δύο φορές,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

υπάρχει ίση πιθανότητα 25% για καθέναν.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Άρα η διαίσθησή σας ίσως σας λέει ότι σε μια σειρά στριψιμάτων ενός κέρματος,

each combination would have the same shot at appearing first.

κάθε συνδυασμός έχει την ίδια πιθανότητα να εμφανιστεί πρώτος.

Unfortunately, you’d be wrong.

Δυστυχώς, δεν θα είχατε δίκιο.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Ο Γουίλμπουρ έχει μεγάλο αβαντάζ σε αυτόν τον διαγωνισμό.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Φανταστείτε την ακολουθία αποτελεσμάτων ως ένα επιτραπέζιο παιχνίδι,

where every flip determines which path we take.

στο οποίο το κάθε στρίψιμο καθορίζει ποιο μονοπάτι παίρνουμε.

The goal is to get from start to finish.

Ο στόχος είναι να φτάσουμε από την αρχή στο τέλος.

The heads/tails board looks like this.

Το επιτραπέζιο κεφαλή/γράμματα μοιάζει κάπως έτσι.

And this is the head/head board.

Και αυτό είναι το επιτραπέζιο κεφαλή/κεφαλή.

There’s one critical difference.

Υπάρχει μία σημαντική διαφορά.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Στο κεφαλή/κεφαλή υπάρχει μία κίνηση που σας στέλνει πίσω στην αρχή,

that heads/tails doesn’t have.

που δεν υπάρχει στο κεφαλή/γράμματα.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Γι' αυτό το κεφαλή/κεφαλή διαρκεί περισσότερο κατά μέσο όρο.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Μπορούμε να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας πιθανότητες και άλγεβρα,

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

για να υπολογίσουμε το μέσο πλήθος στριψιμάτων,

που απαιτείται για να πάρουμε οποιονδήποτε συνδυασμό

Let’s start with the heads/tails board,

Ας ξεκινήσουμε με το παιχνίδι κεφαλή/γράμματα

and define x to be the average number of flips to advance one step.

και ας είναι x τo μέσο πλήθος στριψιμάτων για να προχωρήσουμε ένα βήμα.

Focus only on the arrows.

Εστιάστε μόνο στα βέλη.

It has two identical steps,

Έχει δύο πανομοιότυπα βήματα,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

το καθένα με πιθανότητα 50-50 να μείνει στην ίδια θέση ή να προχωρήσει.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Επιλογή 1: Αν παραμείνουμε στην ίδια θέση, φέρνοντας γράμματα, ξοδέψαμε ένα στρίψιμο.

Since we’re back in the same place,

Αφού είμαστε πίσω στο ίδιο σημείο, για να προχωρήσουμε ένα βήμα

on average we must flip x more times to advance one step.

πρέπει να στρίψουμε x περισσότερες φορές κατά μέσο όρο.

Together with that first flip,

Μαζί με το πρώτο στρίψιμο,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

αυτό μας δίνει ένα μέσο όρο x+1 συνολικών στριψιμάτων για να προχωρήσουμε.

Option 2: If we get heads and move forward,

Επιλογή 2: Αν φέρουμε γράμματα και προχωρήσουμε,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

τότε έχουμε κάνει ακριβώς ένα στρίψιμο συνολικά για να προχωρήσουμε ένα βήμα.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Τώρα μπορούμε να συνδυάσουμε τις επιλογές 1 και 2 με τις πιθανότητές τους

to get this expression.

για να πάρουμε αυτήν την έκφραση.

Αν λύσουμε ως προς x, παίρνουμε μέσο όρο 2 στριψίματα για να προχωρήσουμε ένα βήμα.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Since each step is identical,

Αφού το κάθε βήμα είναι το ίδιο,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

πολλαπλασιάζουμε με 2 και παίρνουμε 4 στριψίματα για να προχωρήσουμε δύο βήματα.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Για το κεφαλή/κεφαλή, η εικόνα δεν είναι τόσο σαφής.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Αυτήν τη φορά, ας είναι y το μέσο πλήθος στριψιμάτων

για να προχωρήσουμε από την αρχή ως το τέλος.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Υπάρχουν δύο επιλογές για την πρώτη κίνηση, η καθεμία με πιθανότητα 50-50.

Option 1 is the same as before,

Η επιλογή 1 είναι η ίδια με πριν,

getting tails sends us back to the start,

αν φέρουμε γράμματα επιστρέφουμε στην αρχή,

giving an average of y+1 total flips to finish.

που μας δίνει κατά μέσο όρο y+1 στριψίματα συνολικά για να τελειώσουμε.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

Στην επιλογή 2, υπάρχουν δύο ισοπίθανες περιπτώσεις για το επόμενο στρίψιμο.

With heads we’d be done after two flips.

Με κεφαλή θα τελειώναμε μετά από δύο στριψίματα,

But tails would return us to the start.

αλλά με γράμματα θα επιστρέφαμε στην αρχή.

Since we’d return after two flips,

Αφού θα επιστρέφαμε μετά από δύο στριψίματα,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

θα χρειαζόμασταν κατά μέσο όρο y+2 στριψίματα συνολικά για να τερματίσουμε.

So our full expression will be this.

Άρα η πλήρης έκφραση είναι η εξής.

And solving this equation gives us six flips.

Και αν λύσουμε αυτήν την εξίσωση, μας δίνει έξι στριψίματα.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Άρα τα Μαθηματικά μας λεν ότι απαιτούνται

κατά μέσο όρο έξι στριψίματα για να πάρουμε κεφαλή/κεφαλή

and an average of four to get heads/tails.

και κατά μέσο όρο τέσσερα για να πάρουμε κεφαλή/γράμματα.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Μάλιστα, αυτό θα δείτε αν το δοκιμάσετε και οι ίδιοι αρκετές φορές.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Φυσικά, οι αδελφοί Ράιτ δεν χρειάστηκε να τα υπολογίσουν όλα αυτά.

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

Απλώς έστριψαν το κέρμα μία φορά και κέρδισε ο Γουίλμπουρ.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Αλλά δεν είχε σημασία· η πτήση του Γουίλμπουρ απέτυχε,

and Orville made aviation history, instead.

και τελικά ο Όρβιλ έγραψε ιστορία στην αεροναυπηγική.

Tough luck, Wilbur.

Δώρον άδωρον, Γουίλμπουρ.