The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Traductor: Jessica Guzman Revisor: Jenny Lam-Chowdhury

When the Wright brothers had to decide

Cuando los hermanos Wright tuvieron que decidir

who would be the first to fly their new airplane

quién sería el primero en volar su nuevo avión desde una duna de arena,

off a sand dune, they flipped a coin.

arrojaron una moneda.

That was fair:

Eso fue justo.

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

Todos sabemos que existe la misma probabilidad de que salga cara o cruz.

But what if they had a more complicated contest?

¿Pero qué tal si hubieran tenido un concurso más complicado?

What if they flipped coins repeatedly,

¿Si lanzaran la moneda repetidamente,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

de tal forma que Orville ganara

tan pronto como dos caras consecutivas aparecieran en su moneda

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

y Wilbur ganara

cuando la cara fuera inmediatamente seguida por la cruz en la suya?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

¿Tendría cada hermano todavía la misma probabilidad de ser el primero en volar?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

Al principio, podría parecer que aún tendrían la misma oportunidad de ganar.

There are four combinations for two consecutive flips.

Hay cuatro combinaciones para dos lanzamientos consecutivos.

And if you do flip a coin just twice,

Y si lanzas una moneda solamente dos veces,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

existe la misma probabilidad para cada una, 25 %.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Así que tu intuición podría decirte que en cualquier serie de lanzamientos,

each combination would have the same shot at appearing first.

cada combinación tendría la misma oportunidad de aparecer primero.

Unfortunately, you’d be wrong.

Desafortunadamente, te equivocarías.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Wilbur tiene de hecho una gran ventaja en este juego.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Imagina nuestra secuencia de lanzamientos como un tipo de juego de mesa,

where every flip determines which path we take.

donde cada lanzamiento determina el camino que tomamos.

The goal is to get from start to finish.

El objetivo es llegar desde la salida hasta la meta.

The heads/tails board looks like this.

El tablero de cara/cruz se ve así.

And this is the head/head board.

Y este es el tablero de cara/cara.

There’s one critical difference.

Hay una diferencia crítica.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Cara/cara tiene un movimiento que te manda de vuelta hasta el inicio

that heads/tails doesn’t have.

y cara/cruz no lo tiene.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Por ello cara/cara lleva más tiempo en promedio.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Así que podemos demostrar que esto es verdad usando probabilidad y álgebra

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

para calcular el número de lanzamientos que en promedio se necesitarían

para obtener cada combinación.

Let’s start with the heads/tails board,

Comencemos con el tablero de cara/cruz, y definamos X

and define x to be the average number of flips to advance one step.

como el promedio de lanzamientos que lanzamos para avanzar un paso.

Focus only on the arrows.

Enfócate solo en las flechas.

It has two identical steps,

Tiene dos pasos idénticos,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

cada uno con una probabilidad 50/50 de quedarse en su lugar o avanzar.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Opción 1: Si quedamos en el lugar por sacar cruz, desperdiciamos un lanzamiento.

Ya que estamos de vuelta en el mismo lugar,

Since we’re back in the same place,

on average we must flip x more times to advance one step.

en promedio debemos lanzar X número de veces más para avanzar un paso.

Together with that first flip,

Junto con ese primer lanzamiento,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

esto da un promedio de X + 1 lanzamientos totales para avanzar.

Option 2: If we get heads and move forward,

Opción 2: si sacamos cara y avanzamos,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

entonces habremos usado exactamente un lanzamiento para avanzar un paso.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Podemos ahora combinar la opción 1 y la opción 2 con sus probabilidades

para obtener esta expresión.

to get this expression.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Resolviendo X nos da el promedio de dos movimientos para avanzar un paso.

Since each step is identical,

Dado que cada paso es idéntico,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

podemos multiplicar por dos y llegar a 4 lanzamientos para avanzar dos pasos.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Para cara/cara, la imagen no es tan simple.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Esta vez Y será el promedio de lanzamientos para avanzar del inicio a la meta.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Hay dos opciones para el primer movimiento,

cada una con 50/50 de probabilidad.

Option 1 is the same as before,

La opción 1 es igual que antes,

getting tails sends us back to the start,

sacar cruz nos regresa al inicio,

dando un promedio de Y + 1 lanzamientos para terminar.

giving an average of y+1 total flips to finish.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

En la opción 2, hay dos casos igualmente posibles para el siguiente lanzamiento.

With heads we’d be done after two flips.

Con cara habríamos terminado con dos lanzamientos más.

But tails would return us to the start.

Pero con cruz regresaríamos al inicio.

Since we’d return after two flips,

Como volveríamos después de dos lanzamientos,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

necesitaríamos entonces un promedio de Y + 2 lanzamientos para terminar.

So our full expression will be this.

Así que nuestra expresión total sería esta.

Resolver esta ecuación nos da 6 lanzamientos.

And solving this equation gives us six flips.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Por lo tanto las matemáticas calculan que se necesitan 6 lanzamientos en promedio

para obtener cara/cara,

and an average of four to get heads/tails.

y un promedio de 4 para obtener cara/cruz.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Y, de hecho, esto es lo que verías

si lo probaras suficientes veces.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Por supuesto que los hermanos Wright no necesitaron hacer todo esto;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

solamente arrojaron una moneda y Wilbur ganó.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Pero esto no tuvo importancia: el vuelo de Wilbur falló,

and Orville made aviation history, instead.

y Orville escribió la historia de la aviación en su lugar.

Tough luck, Wilbur.

Vaya suerte, Wilbur.