The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Traduttore: Alessandra Tadiotto Revisore: Cristina Bufi-Pöcksteiner

"Bene, bene, il mondo deve girare attorno al suo asse,

e tutto il genere umano gira con lui, testa o croce".

When the Wright brothers had to decide

Quando i fratelli Wright dovettero decidere

who would be the first to fly their new airplane

chi sarebbe stato il primo a volare sul nuovo aeroplano

off a sand dune, they flipped a coin.

decollando da una duna di sabbia, lanciarono una monetina.

That was fair:

Era corretto:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

tutti sanno che c'è la stessa possibilità che esca testa o croce.

But what if they had a more complicated contest?

Ma se si scegliesse una soluzione più complicata?

What if they flipped coins repeatedly,

Se lanciassero le monete ripetutamente,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

così che Orville vincerebbe se uscisse testa per due volte di fila,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

e Wilburn vincerebbe se uscisse testa e subito dopo croce?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Avrebbero le stesse probabilità di essere il primo a volare?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

All'inizio, sembra che le probabilità di vittoria siano le stesse.

There are four combinations for two consecutive flips.

Ci sono quattro combinazioni per due lanci consecutivi.

And if you do flip a coin just twice,

E se lanci una moneta solo due volte,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

c'è la medesima probabilità per ciascuno, pari al 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Quindi si intuisce che in ogni sequenza di lanci,

each combination would have the same shot at appearing first.

ciascuna combinazione avrebbe uguale probabilità di apparire per prima.

Unfortunately, you’d be wrong.

Sfortunatamente, non è così.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Wilburn ha in realtà un grande vantaggio.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Immaginate la sequenza di lanci come una specie di gioco da tavolo,

where every flip determines which path we take.

in cui ogni lancio determina quale sentiero seguire.

The goal is to get from start to finish.

L'obiettivo è di arrivare alla fine.

The heads/tails board looks like this.

Il tabellone testa/croce appare così.

And this is the head/head board.

E questo è il tabellone testa/testa.

There’s one critical difference.

C'è una differenza fondamentale.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Quello testa/testa ha una mossa che ci rimanda alla partenza,

that heads/tails doesn’t have.

mentre il tabellone testa/croce non ce l'ha.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Ecco perché il percorso testa/testa richiede più tempo.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Possiamo dimostrare che ciò è vero usando l'algebra e la probabilità

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

per calcolare il numero medio di lanci necessari per ottenere ogni combinazione.

Let’s start with the heads/tails board,

Cominciamo con il tabellone testa/croce,

and define x to be the average number of flips to advance one step.

e definiamo x il numero medio di lanci per fare il passo successivo.

Focus only on the arrows.

Focalizziamoci solo sulle frecce.

It has two identical steps,

Ci sono due passi identici,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

ognuno con il 50/50 di probabilità di rimanere fermo o procedere.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Opzione 1: se esce croce, restiamo fermi e sprechiamo un lancio.

Since we’re back in the same place,

Poiché siamo al punto di prima,

on average we must flip x more times to advance one step.

in media dobbiamo fare x lanci in più per avanzare di un passo.

Together with that first flip,

Insieme al primo lancio,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

si ottiene una media di x + 1 lanci totali per procedere.

Option 2: If we get heads and move forward,

Opzione 2: se otteniamo testa e andiamo avanti,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

allora ci è voluto esattamente un lancio per avanzare di un passo.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Ora mettiamo insieme l'opzione 1 e l'opzione 2 con le loro probabilità

to get this expression.

per ottenere questa espressione.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

La soluzione è che x corrisponde in media a 2 mosse per avanzare di un passo.

Since each step is identical,

Poiché ogni passo è identico,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

possiamo moltiplicare per 2 e giungere a 4 lanci per avanzare di due passi.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Per testa/testa, la faccenda non è così semplice.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Questa volta, chiamiamo y il numero medio di lanci per procedere fino alla fine.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Ci sono due opzioni per la prima mossa, ognuna con il 50% di probabilità.

Option 1 is the same as before,

L'opzione 1 è la stessa di prima,

getting tails sends us back to the start,

se esce croce torniamo alla partenza,

giving an average of y+1 total flips to finish.

ottenendo una media di lanci totali uguale a y+1 per finire.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

Opzione 2, ci sono due possibilità per il prossimo lancio.

With heads we’d be done after two flips.

Con testa finiremmo dopo due lanci.

But tails would return us to the start.

Ma con croce torneremmo alla partenza.

Since we’d return after two flips,

In questo caso,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

ci servirebbe allora una media di y+2 lanci in totale per finire.

So our full expression will be this.

Così la nostra formula completa sarebbe la seguente.

And solving this equation gives us six flips.

E la soluzione di essa ci dà sei lanci.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Quindi la matematica calcola che ci vuole una media di sei lanci per testa/testa,

and an average of four to get heads/tails.

e una media di quattro lanci per testa/croce.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Ed è proprio quello che vedreste se lo sperimentaste abbastanza volte.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Naturalmente, i fratelli Wright non si cimentarono in tutto ciò;

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

lanciarono la moneta solo una volta, e Wilburn vinse.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Ma non ebbe importanza, perché il volo di Wilburn fallì,

and Orville made aviation history, instead.

e fu Orville a fare la storia dell'aviazione.

Tough luck, Wilbur.

Che sfortuna, Wilburn.