The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

翻訳: Yasushi Aoki 校正: Tomoyuki Suzuki

When the Wright brothers had to decide

ライト兄弟は

who would be the first to fly their new airplane

砂丘で飛ばす新しい飛行機に どちらが先に乗るか決めるために

off a sand dune, they flipped a coin.

コイン投げをしました

That was fair:

これは公平なやり方で

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

表と裏が出る確率が同じことは みんな知っています

But what if they had a more complicated contest?

でも もっと複雑なやり方だったら どうでしょう？

What if they flipped coins repeatedly,

たとえば コインを何回も投げ

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

表が続けて２回出たら その時点でオーヴィルの勝ち

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

表の次に裏が出たらウィルバーの勝ち というルールだったとしたら？

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

２人の初飛行をするチャンスは 相変わらず同じでしょうか？

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

一見 それぞれが勝つ確率は 同じに見えるかもしれません

There are four combinations for two consecutive flips.

２回のコイン投げの組み合わせは ４通りあり

And if you do flip a coin just twice,

コインを２回だけ投げるなら

there’s an equal chance of each one -- 25%.

各パターンの確率は 等しく 25%です

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

だからコイン投げを 続けて行うときも

each combination would have the same shot at appearing first.

各組み合わせの現れる確率は同じはずだと 直感的に思うかもしれません

Unfortunately, you’d be wrong.

あいにく それは正しくありません

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

このやり方では ウィルバーが ずっと有利になってしまいます

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

コイン投げの結果で 進む道を選ぶ

where every flip determines which path we take.

双六を想像してください

The goal is to get from start to finish.

振り出しから上がりまで 辿り着くのが目的です

The heads/tails board looks like this.

表裏(HT)の双六は このようになり

And this is the head/head board.

表表(HH)の双六は こうなります

There’s one critical difference.

この２つには 重要な違いが１箇所あります

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

表表(HH)双六では 振り出しに戻る経路があるのに対し

that heads/tails doesn’t have.

表裏(HT)双六にはないことです

That’s why heads/heads takes longer on average.

そのため 表表の方が 平均では より長くかかります

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

これが正しいことは 確率と代数の考え方を使って

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

それぞれの平均コイン投げ回数を 計算することで示せます

Let’s start with the heads/tails board,

表裏の双六から 見てみましょう

and define x to be the average number of flips to advance one step.

ここで１マス進むための 平均コイン投げ回数を x とします

Focus only on the arrows.

矢印にだけ注目すると

It has two identical steps,

同じ形のステップが ２箇所あって

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

「その場に留まる」のと「先に進む」のが 50/50の確率になっています

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

[場合１] 裏が出てその場に留まるなら コイン投げが１回無駄になります

Since we’re back in the same place,

元の場所に戻るので

on average we must flip x more times to advance one step.

１マス進むのに さらに平均 x 回 コイン投げをすることになり

Together with that first flip,

最初の１回と合わせ

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

平均で合計 x + 1 回のコイン投げで １マス進むことになります

Option 2: If we get heads and move forward,

[場合２] 表が出て 先に進むなら

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

１マス進むのに 合計１回の コイン投げをすることになります

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

場合１と場合２は それぞれ確率が1/2なので

両方の場合をまとめると このように書けます

to get this expression.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

この式を x について解くと １マス進むのに 平均２回のコイン投げが必要と分かります

Since each step is identical,

同じ形のステップが ２つあるので

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

２マス進んで上がるには 平均４回のコイン投げが必要です

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

表表の双六は もう少し複雑です

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

今回は 振り出しから上がりまでの 平均コイン投げ回数を y とします

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

最初の動きには２つの場合があり 確率は50/50です

Option 1 is the same as before,

場合１は前回と同じで

getting tails sends us back to the start,

裏が出て振り出しに戻り

上がりまでの平均コイン投げ回数は y + 1 になります

giving an average of y+1 total flips to finish.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

場合２は その次のコイン投げ結果による 同確率の分岐があります

With heads we’d be done after two flips.

表(H)が出れば ２回のコイン投げで 上がり(HH)になりますが

But tails would return us to the start.

裏(T)が出れば 振り出しに戻ります

Since we’d return after two flips,

２回のコイン投げ後に 振り出しに戻るので

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

上がりまでの平均コイン投げ回数は y + 2 となります

So our full expression will be this.

従って式の全体は このようになります

And solving this equation gives us six flips.

これを y について解くと 答えは６回となります

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

計算によって 表表が出るまでの コイン投げ回数は平均６回

and an average of four to get heads/tails.

表裏が出るまでの平均回数は ４回だと分かりました

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

実際に自分で十分な回数試してみれば この結果を確認できるでしょう

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

もちろんライト兄弟は このような問題を解く必要はなく

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

コインを１回だけ投げて ウィルバーが勝ちました

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

しかし それも関係ありませんでした ウィルバーの飛行は失敗し

and Orville made aviation history, instead.

代わりにオーヴィルが 飛行機の歴史を作ったのです

Tough luck, Wilbur.

ウィルバーの不運なこと