The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Переводчик: Ростислав Голод Редактор: Anna Pecot

When the Wright brothers had to decide

Когда братья Райт решали,

who would be the first to fly their new airplane

кто первый полетит с песчаной дюны на построенном ими самолёте,

off a sand dune, they flipped a coin.

они подбросили монетку.

That was fair:

Это было справедливо:

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

очевидно ведь, что шансы того, что выпадет орёл или решка, равны.

But what if they had a more complicated contest?

А если бы они кидали жребий поэтапно, с определёнными условиями?

What if they flipped coins repeatedly,

Подбрасывали бы монеты несколько раз,

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

и Орвилл выиграл бы только тогда, когда дважды подряд выпадал орёл,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

а Уилбур — если бы сразу вслед за орлом выпала решка?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Были бы у каждого из братьев равные шансы полететь первым?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

Сразу может показаться, что шансы выиграть будут равны.

There are four combinations for two consecutive flips.

Если подбросить монетку дважды, возможны четыре комбинации.

And if you do flip a coin just twice,

В этом случае

there’s an equal chance of each one -- 25%.

у каждой комбинации шансы одинаковые — 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Скорее всего, интуиция вам подсказывает, что если сделать серию бросков,

each combination would have the same shot at appearing first.

у каждой комбинации будет равная вероятность выпасть первой.

Unfortunately, you’d be wrong.

К сожалению, это не так.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Шансы выиграть жребий будут выше у Уилбура.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Представьте, что вы подбрасываете монету в настольной игре.

where every flip determines which path we take.

Каждый бросок определяет следующий шаг.

The goal is to get from start to finish.

Цель — добраться от старта до финиша.

The heads/tails board looks like this.

Раскладка «орёл-решка» выглядит вот так.

And this is the head/head board.

А вот так выглядит раскладка «орёл-орёл».

There’s one critical difference.

Между ними есть одно существенное различие.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

В раскладке «орёл-орёл» есть риск вернуться к старту,

that heads/tails doesn’t have.

чего в раскладке «орёл-решка» быть не может.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Поэтому комбинация «орёл-решка» в среднем выпадет быстрее.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Чтобы доказать это, воспользуемся теорией вероятности и алгеброй

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

и рассчитаем среднее число бросков, которое потребуется для каждой комбинации.

Let’s start with the heads/tails board,

Начнём с комбинации «орёл-решка».

and define x to be the average number of flips to advance one step.

Пусть Х — это среднее число бросков, необходимое, чтобы сделать шаг вперёд.

Focus only on the arrows.

Проследите за стрелками.

It has two identical steps,

В этой раскладке есть два идентичных шага.

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

Вероятность, что вы останетесь на месте или сделаете шаг вперёд, — 50 на 50.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Вариант 1: выпадает решка, мы остаёмся на месте, упуская шанс продвинуться.

Since we’re back in the same place,

Поскольку мы остаёмся на том же месте,

on average we must flip x more times to advance one step.

в среднем мы должны бросить монету ещё Х раз, чтобы приблизиться к цели.

Together with that first flip,

С учётом первого броска,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

для того, чтобы продвинуться, нам надо бросить монету Х+1 раз.

Option 2: If we get heads and move forward,

Вариант 2: выпадает орёл и мы шагаем вперёд,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

то есть продвигаемся вперёд уже с первой попытки.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

А теперь объединим вероятности варианта 1 и варианта 2

to get this expression.

и получим следующее уравнение.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Решив его, мы получаем, что среднее число бросков, чтобы сделать один шаг, равно 2.

Since each step is identical,

Поскольку все шаги одинаковы,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

для продвижения на два шага, результат умножаем на два и получаем четыре броска.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

С раскладкой «орёл-орёл» всё не так просто.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Пусть Y — среднее число бросков, нужное, чтобы добраться от старта к финишу.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Для первого хода есть два варианта с вероятностью 50 на 50.

Option 1 is the same as before,

Вариант 1 такой же, как и раньше:

getting tails sends us back to the start,

при выпадении решки возвращаемся на старт,

giving an average of y+1 total flips to finish.

а среднее значение бросков, чтобы прийти к финишу, — Y+1.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

В варианте 2 существуют две одинаково вероятных возможности для следующего шага.

With heads we’d be done after two flips.

При выпадении орла мы сделаем шаг вперёд всего за два броска,

But tails would return us to the start.

но при выпадении решки мы вернёмся на старт.

Since we’d return after two flips,

Поскольку мы возвращаемся на старт после двух бросков,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

в среднем нам понадобится Y+2 бросков, чтобы добраться до финиша.

So our full expression will be this.

Поэтому полное уравнение будет выглядеть следующим образом.

And solving this equation gives us six flips.

Решив его, мы получим 6 бросков.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

То есть, согласно расчётам, для выпадения «орёл-орёл» делаем в среднем 6 бросков,

and an average of four to get heads/tails.

а для «орла-решки» — 4.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Если вы проведёте такой же эксперимент, то убедитесь в этом сами.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Конечно, братьям Райт не нужны были подобные вычисления.

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

Они подбросили монету всего один раз, и выиграл Уилбур.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Но в конце концов это не имело значения, ведь полёт Уилбура не удался,

and Orville made aviation history, instead.

и именно Орвилл вошёл в историю авиации.

Tough luck, Wilbur.

Ты в пролёте, Уилбур.