The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

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TED-Ed


Por favor, faça duplo clique nas legendas em inglês abaixo para reproduzir o vídeo.

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Mafalda Ferreira
[Omundo tem que girar em volta do seu eixo,
[e toda a Humanidade com ele, virados para cima ou para baixo]
00:06
When the Wright brothers had to decide
0
6698
2000
Quando os irmãos Wright tiveram que decidir
00:08
who would be the first to fly their new airplane
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8698
3142
quem seria o primeiro a voar no seu novo aeroplano,
00:11
off a sand dune, they flipped a coin.
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11840
2800
a lançar de uma duna de areia, atiraram uma moeda ao ar.
00:14
That was fair:
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14640
819
Era justo.
00:15
we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.
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15459
3729
Todos sabemos que há uma probabilidade igual
de calhar cara ou coroa.
00:19
But what if they had a more complicated contest?
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19188
2892
Mas, e se fosse uma aposta mais complicada?
00:22
What if they flipped coins repeatedly,
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22080
2420
E se eles atirassem a moeda ao ar repetidas vezes
00:24
so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,
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24500
4881
de modo que Orville ganhasse quando aparecessem duas caras seguidas,
00:29
and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?
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29381
5879
e Wilbur ganhasse quando aparecesse uma cara seguida de uma coroa?
00:35
Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?
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35260
5425
Teria cada um dos irmãos a mesma hipótese de ser o primeiro a voar?
00:40
At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.
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3895
A princípio, pode parecer que eles teriam a mesma hipótese de ganhar.
00:44
There are four combinations for two consecutive flips.
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44580
3562
Há quatro combinações para dois lançamentos consecutivos.
00:48
And if you do flip a coin just twice,
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48142
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Se atirarmos uma moeda ao ar apenas duas vezes,
00:50
there’s an equal chance of each one -- 25%.
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50281
4070
há uma probabilidade igual para cada uma — 25%.
00:54
So your intuition might tell you that in any string of coin flips,
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54351
4110
Por isso, a nossa intuição diz-nos que, em qualquer fiada de lançamentos,
00:58
each combination would have the same shot at appearing first.
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3913
cada combinação terá a mesma hipótese de aparecer primeiro.
01:02
Unfortunately, you’d be wrong.
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2589
Infelizmente, estaremos enganados.
01:04
Wilbur actually has a big advantage in this contest.
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64963
4030
Wilbur teria uma grande vantagem nesta competição.
01:08
Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,
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68993
3439
Imaginem a sequência de lançamentos como uma espécie de jogo de tabuleiro,
01:12
where every flip determines which path we take.
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3252
em que cada lançamento determina o caminho que tomamos.
01:15
The goal is to get from start to finish.
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75684
2980
O objetivo é seguir do início até ao fim.
01:18
The heads/tails board looks like this.
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3041
O tabuleiro de cara/coroa terá este aspeto.
01:21
And this is the head/head board.
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2700
E este é o tabuleiro de cara/cara.
01:24
There’s one critical difference.
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84405
1988
Há uma diferença fundamental.
01:26
Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start
24
86393
4313
Cara/cara tem um movimento que nos envia de novo para o início
01:30
that heads/tails doesn’t have.
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90706
2797
coisa que cara/coroa não tem.
01:33
That’s why heads/heads takes longer on average.
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93503
3401
É por isso que cara/cara em média, leva mais tempo.
01:36
So we can demonstrate that this is true using probability and algebra
27
96904
4581
Podemos demonstrar que isto é verdade, usando a probabilidade e a álgebra.
01:41
to calculate the average number of flips it would take to get each combination.
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101485
5350
para calcular o número médio de lançamentos
necessários para chegar a cada uma das combinações.
01:46
Let’s start with the heads/tails board,
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106835
2239
Vamos começar com o tabuleiro cara/coroa.
01:49
and define x to be the average number of flips to advance one step.
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109074
4330
Definimos x como o número médio de lançamentos para avançar uma casa.
01:53
Focus only on the arrows.
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113404
2740
Concentrem-se apenas nas setas.
01:56
It has two identical steps,
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116144
2172
Tem dois passos idênticos,
01:58
each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.
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118316
4377
cada um deles com uma hipótese 50/50 de se manter no mesmo lugar ou avançar.
02:02
Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.
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122693
6421
Opção um: Se ficarmos no mesmo lugar, porque calhou coroa,
perdemos um lançamento.
02:09
Since we’re back in the same place,
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129114
1732
Como voltamos ao mesmo sítio,
02:10
on average we must flip x more times to advance one step.
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130846
4528
em média, temos que lançar a moeda mais x vezes, para avançar uma casa.
02:15
Together with that first flip,
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135374
1912
Juntamente com este primeiro lançamento,
02:17
this gives an average of x + 1 total flips to advance.
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137286
5020
isso dá-nos uma média de x+1 lançamentos totais para avançar.
02:22
Option 2: If we get heads and move forward,
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142306
3948
Opção dois: Se calha cara e avançamos,
02:26
then we have taken exactly one total flip to advance one step.
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146254
4472
fizemos apenas um lançamento para avançar uma casa.
02:30
We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities
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150726
4399
Podemos assim combinar a opção 1 e a opção 2, com as suas probabilidades
02:35
to get this expression.
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155125
2040
e obtemos esta expressão.
02:37
Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.
43
157165
5203
Resolvendo-a em função de x,
obtemos uma média de dois movimentos para avançar uma casa.
02:42
Since each step is identical,
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162368
2299
Como cada passo é idêntico,
02:44
we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.
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164667
5681
podemos multiplicar por 2 e chegar a quatro lançamentos
para avançar duas casas.
02:50
For heads/heads, the picture isn’t as simple.
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170348
3318
Para cara/cara, o quadro não é tão simples.
02:53
This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.
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173666
5530
Desta vez, será y o número médio de lançamentos
para ir do início até ao fim.
02:59
There are two options for the first move, each with 50/50 odds.
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179196
4122
Há duas opções para o primeiro movimento, com a probabilidade de 50/50.
03:03
Option 1 is the same as before,
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183318
2401
A opção um é a mesma que antes.
03:05
getting tails sends us back to the start,
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185719
2348
Se obtivermos coroa, voltamos ao início,
03:08
giving an average of y+1 total flips to finish.
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188067
4432
o que dá uma média de y+1 lançamentos totais para terminar.
03:12
In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.
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192499
4759
Na opção dois, há dois casos com a mesma probabilidade
no lançamento seguinte.
03:17
With heads we’d be done after two flips.
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197258
3292
Com uma cara, acabamos depois de dois lançamentos.
03:20
But tails would return us to the start.
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200550
3059
Mas com uma coroa, voltamos ao início.
03:23
Since we’d return after two flips,
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203609
2381
Como voltamos ao início, depois de dois lançamentos,
03:25
we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.
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205990
5210
precisamos de uma média de y+2 lançamentos no total
para terminar.
03:31
So our full expression will be this.
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211200
3811
Portanto, a expressão completa será esta.
03:35
And solving this equation gives us six flips.
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215011
3010
Resolvendo esta equação, obtemos seis lançamentos.
03:38
So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,
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218021
5340
Assim, a matemática calcula que é preciso uma média de seis lançamentos
para obter cara/cara.
03:43
and an average of four to get heads/tails.
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223361
3599
e uma média de quatro lançamentos para obter cara/coroa.
03:46
And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.
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226960
5601
Com efeito, é o que podem ver se testarem suficientes vezes.
03:52
Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;
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3210
Claro que os irmãos Wright não precisavam de ter este trabalho todo.
03:55
they only flipped the coin once, and Wilbur won.
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3691
eles só atiraram a moeda uma vez
e quem ganhou foi Wilbur.
03:59
But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,
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239462
3370
Mas não teve importância.
O voo de Wilbur falhou e foi Orville quem ficou na história da aviação.
04:02
and Orville made aviation history, instead.
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3129
04:05
Tough luck, Wilbur.
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245961
1471
Pouca sorte, Wilbur.
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