The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Mafalda Ferreira

[Omundo tem que girar em volta do seu eixo,

[e toda a Humanidade com ele, virados para cima ou para baixo]

When the Wright brothers had to decide

Quando os irmãos Wright tiveram que decidir

who would be the first to fly their new airplane

quem seria o primeiro a voar no seu novo aeroplano,

off a sand dune, they flipped a coin.

a lançar de uma duna de areia, atiraram uma moeda ao ar.

That was fair:

Era justo.

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

Todos sabemos que há uma probabilidade igual

de calhar cara ou coroa.

But what if they had a more complicated contest?

Mas, e se fosse uma aposta mais complicada?

What if they flipped coins repeatedly,

E se eles atirassem a moeda ao ar repetidas vezes

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

de modo que Orville ganhasse quando aparecessem duas caras seguidas,

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

e Wilbur ganhasse quando aparecesse uma cara seguida de uma coroa?

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Teria cada um dos irmãos a mesma hipótese de ser o primeiro a voar?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

A princípio, pode parecer que eles teriam a mesma hipótese de ganhar.

There are four combinations for two consecutive flips.

Há quatro combinações para dois lançamentos consecutivos.

And if you do flip a coin just twice,

Se atirarmos uma moeda ao ar apenas duas vezes,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

há uma probabilidade igual para cada uma — 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Por isso, a nossa intuição diz-nos que, em qualquer fiada de lançamentos,

each combination would have the same shot at appearing first.

cada combinação terá a mesma hipótese de aparecer primeiro.

Unfortunately, you’d be wrong.

Infelizmente, estaremos enganados.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Wilbur teria uma grande vantagem nesta competição.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Imaginem a sequência de lançamentos como uma espécie de jogo de tabuleiro,

where every flip determines which path we take.

em que cada lançamento determina o caminho que tomamos.

The goal is to get from start to finish.

O objetivo é seguir do início até ao fim.

The heads/tails board looks like this.

O tabuleiro de cara/coroa terá este aspeto.

And this is the head/head board.

E este é o tabuleiro de cara/cara.

There’s one critical difference.

Há uma diferença fundamental.

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

Cara/cara tem um movimento que nos envia de novo para o início

that heads/tails doesn’t have.

coisa que cara/coroa não tem.

That’s why heads/heads takes longer on average.

É por isso que cara/cara em média, leva mais tempo.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

Podemos demonstrar que isto é verdade, usando a probabilidade e a álgebra.

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

para calcular o número médio de lançamentos

necessários para chegar a cada uma das combinações.

Let’s start with the heads/tails board,

Vamos começar com o tabuleiro cara/coroa.

and define x to be the average number of flips to advance one step.

Definimos x como o número médio de lançamentos para avançar uma casa.

Focus only on the arrows.

Concentrem-se apenas nas setas.

It has two identical steps,

Tem dois passos idênticos,

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

cada um deles com uma hipótese 50/50 de se manter no mesmo lugar ou avançar.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Opção um: Se ficarmos no mesmo lugar, porque calhou coroa,

perdemos um lançamento.

Since we’re back in the same place,

Como voltamos ao mesmo sítio,

on average we must flip x more times to advance one step.

em média, temos que lançar a moeda mais x vezes, para avançar uma casa.

Together with that first flip,

Juntamente com este primeiro lançamento,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

isso dá-nos uma média de x+1 lançamentos totais para avançar.

Option 2: If we get heads and move forward,

Opção dois: Se calha cara e avançamos,

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

fizemos apenas um lançamento para avançar uma casa.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Podemos assim combinar a opção 1 e a opção 2, com as suas probabilidades

to get this expression.

e obtemos esta expressão.

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

Resolvendo-a em função de x,

obtemos uma média de dois movimentos para avançar uma casa.

Since each step is identical,

Como cada passo é idêntico,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

podemos multiplicar por 2 e chegar a quatro lançamentos

para avançar duas casas.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Para cara/cara, o quadro não é tão simples.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Desta vez, será y o número médio de lançamentos

para ir do início até ao fim.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Há duas opções para o primeiro movimento, com a probabilidade de 50/50.

Option 1 is the same as before,

A opção um é a mesma que antes.

getting tails sends us back to the start,

Se obtivermos coroa, voltamos ao início,

giving an average of y+1 total flips to finish.

o que dá uma média de y+1 lançamentos totais para terminar.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

Na opção dois, há dois casos com a mesma probabilidade

no lançamento seguinte.

With heads we’d be done after two flips.

Com uma cara, acabamos depois de dois lançamentos.

But tails would return us to the start.

Mas com uma coroa, voltamos ao início.

Since we’d return after two flips,

Como voltamos ao início, depois de dois lançamentos,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

precisamos de uma média de y+2 lançamentos no total

para terminar.

So our full expression will be this.

Portanto, a expressão completa será esta.

And solving this equation gives us six flips.

Resolvendo esta equação, obtemos seis lançamentos.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Assim, a matemática calcula que é preciso uma média de seis lançamentos

para obter cara/cara.

and an average of four to get heads/tails.

e uma média de quatro lançamentos para obter cara/coroa.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

Com efeito, é o que podem ver se testarem suficientes vezes.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Claro que os irmãos Wright não precisavam de ter este trabalho todo.

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

eles só atiraram a moeda uma vez

e quem ganhou foi Wilbur.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Mas não teve importância.

O voo de Wilbur falhou e foi Orville quem ficou na história da aviação.

and Orville made aviation history, instead.

Tough luck, Wilbur.

Pouca sorte, Wilbur.