The coin flip conundrum - Po-Shen Loh

Tradutor: Rhandra Lopes Revisor: Ricardo Hoffmann

[O mundo gira em torno do seu eixo]

e a humanidade gira com ele, cara ou coroa... - Lord Byron]

When the Wright brothers had to decide

Quando os irmãos Wright decidiram

who would be the first to fly their new airplane

quem seria o primeiro a voar no novo avião

off a sand dune, they flipped a coin.

sobre uma duna de areia, eles jogaram uma moeda.

That was fair:

Aquilo foi justo: sabemos que há uma chance igual de sair cara ou coroa.

we all know there’s an equal chance of getting heads and tails.

But what if they had a more complicated contest?

Mas e se o sorteio fosse diferente?

What if they flipped coins repeatedly,

E se mais de uma moeda fosse jogada?

so that Orville would win as soon as two heads showed up in a row on his coin,

Assim, Orville venceria se ocorresse a sequência cara, cara.

and Wilbur would win as soon as heads was immediately followed by tails on his?

E Wilbur venceria se a sequência fosse cara, coroa.

Would each brother still have had an equal chance to be the first in flight?

Será que ainda assim os irmãos teriam a mesma chance?

At first, it may seem they’d still have the same chance of winning.

À primeira vista, pode parecer que sim.

There are four combinations for two consecutive flips.

Há quatro combinações possíveis ao se jogar duas moedas.

And if you do flip a coin just twice,

E se você fizer dois lançamentos,

there’s an equal chance of each one -- 25%.

a probabilidade para cada face é de 25%.

So your intuition might tell you that in any string of coin flips,

Então sua intuição poderia lhe sugerir que em qualquer série de lançamentos,

each combination would have the same shot at appearing first.

cada combinação teria igual probabilidade de ocorrer.

Unfortunately, you’d be wrong.

Infelizmente, você está errado.

Wilbur actually has a big advantage in this contest.

Na verdade, Wilbur tem uma grande vantagem nesta disputa.

Imagine our sequence of coin flips as a sort of board game,

Imagine uma sequência de jogadas como um jogo de tabuleiro,

where every flip determines which path we take.

em que cada jogada determina um caminho a ser percorrido.

The goal is to get from start to finish.

O objetivo é ir do início até o fim.

The heads/tails board looks like this.

O esquema para a sequência cara/coroa é esse.

And this is the head/head board.

E esse é para a sequência cara/cara.

There’s one critical difference.

Há uma diferença crucial:

Heads/heads has a move that sends you all the way back to the start

a sequência cara/cara tem um movimento que o leva de volta para o início,

that heads/tails doesn’t have.

o que não existe para a sequência cara/coroa.

That’s why heads/heads takes longer on average.

Logo, a sequência cara/cara leva desvantagem.

So we can demonstrate that this is true using probability and algebra

E isso é demonstrado com o uso de probabilidade e álgebra

to calculate the average number of flips it would take to get each combination.

ao calcular o número médio de jogadas para se obter cada combinação.

Let’s start with the heads/tails board,

Vamos começar com a sequência cara/coroa,

and define x to be the average number of flips to advance one step.

e definir x como o número médio de jogadas para se avançar uma casa.

Focus only on the arrows.

Concentre-se apenas nas setas.

It has two identical steps,

Existem duas possibilidades idênticas:

each with a 50/50 chance of staying in place or moving forward.

ficar no mesmo lugar ou avançar.

Option 1: If we stay in place by getting tails, we waste one flip.

Opção 1: ficar no mesmo lugar caso sorteie coroa - perde-se então uma jogada.

Since we’re back in the same place,

Uma vez que não saímos do lugar

on average we must flip x more times to advance one step.

em média, para se avançar uma casa, temos que jogar a moeda mais x vezes.

Together with that first flip,

A partir da primeira jogada,

this gives an average of x + 1 total flips to advance.

isso dá uma média de x + 1 jogadas para se avançar uma casa.

Option 2: If we get heads and move forward,

Opção 2: sorteia-se cara e avança-se uma casa.

then we have taken exactly one total flip to advance one step.

Nesse caso, só foi necessária uma jogada para conseguir avançar.

We can now combine option 1 and option 2 with their probabilities

Combinando as duas opções de jogadas e suas probabilidades,

to get this expression.

chegamos a essa expressão numérica:

Solving that for x gives us an average of two moves to advance one step.

resolvendo-a, encontramos uma média de duas jogadas para se avançar uma casa.

Since each step is identical,

Uma vez que as probabilidades são iguais,

we can multiply by two and arrive at four flips to advance two steps.

multiplicamos por dois, e precisamos de quatro jogadas para avançar duas casas.

For heads/heads, the picture isn’t as simple.

Para a sequência cara/cara, a situação não é tão simples.

This time, let y be the average number of flips to move from start to finish.

Seja y o número médio de jogadas para ir do início até o fim.

There are two options for the first move, each with 50/50 odds.

Há duas opções para o primeiro sorteio, cada uma com 50% de chance.

Option 1 is the same as before,

A opção 1 é idêntica à anterior,

getting tails sends us back to the start,

sorteando-se coroa volta-se ao início,

giving an average of y+1 total flips to finish.

o que nos dá uma média de y+1 jogadas para se chegar ao fim.

In Option 2, there are two equally likely cases for the next flip.

Na opção 2, há duas possibilidades para o próximo sorteio:

With heads we’d be done after two flips.

saindo cara, chega-se ao final após duas jogadas.

But tails would return us to the start.

Saindo coroa, retorna-se ao início.

Since we’d return after two flips,

E sendo esse retorno após o segundo sorteio,

we’d then need an average of y+2 flips in total to finish.

tem-se então uma média de y+2 jogadas para se chegar ao fim,

So our full expression will be this.

obtendo-se a seguinte expressão numérica:

And solving this equation gives us six flips.

que fornece seis jogadas como solução.

So the math calculates that it takes an average of six flips to get heads/heads,

Temos então uma média de seis jogadas para a sequência cara/cara,

and an average of four to get heads/tails.

e uma média de quatro jogadas para a sequência cara/coroa.

And, in fact, that’s what you’d see if you tested it for yourself enough times.

E, se você desejar, pode comprovar esse resultado na prática.

Of course, the Wright brothers didn’t need to work all this out;

Certamente os irmãos Wright não precisavam pensar nisso tudo,

they only flipped the coin once, and Wilbur won.

eles jogaram uma moeda e Wilbur ganhou.

But it didn’t matter: Wilbur’s flight failed,

Mas isso não é importante: o voo de Wilbur falhou

and Orville made aviation history, instead.

e Orville fez história na aviação.

Tough luck, Wilbur.

Que falta de sorte, Wilbur.