What happens if you guess - Leigh Nataro

Переводчик: Вадим Гузик Редактор: Ростислав Голод

Probability is an area of mathematics that is everywhere.

Теория вероятностей — это область математики, применяемая повсеместно.

We hear about it in weather forecasts,

Мы слышим о ней в прогнозах погоды,

like there's an 80% chance of snow tomorrow.

например, что вероятность снега завтра — 80%.

It's used in making predictions in sports,

Ею пользуются, когда хотят предсказать победу в спорте,

such as determining the odds for who will win the Super Bowl.

например, какие у команды шансы выиграть «Супер Боул».

Probability is also used in helping to set auto insurance rates

Вероятность применяется для расчёта страховых премий,

and it's what keeps casinos and lotteries in business.

и благодаря ей крутится рулетка казино и лотерей.

How can probability affect you?

А какая вам польза от вероятности?

Let's look at a simple probability problem.

Рассмотрим простую задачу на вероятность.

Does it pay to randomly guess on all 10 questions

Удастся ли верно ответить на все 10 вопросов теста,

on a true/ false quiz?

наугад выбрав между «верно» или «неверно»?

In other words, if you were to toss a fair coin

Другими словами, если 10 раз бросить монету наудачу,

10 times, and use it to choose the answers,

выбрав по ней ответы,

what is the probability you would get a perfect score?

какова вероятность, что вы наберёте максимальное число баллов?

It seems simple enough. There are only two possible outcomes for each question.

Кажется, что всё просто. Существуют только два варианта ответа на каждый вопрос.

But with a 10-question true/ false quiz,

Но для теста из 10 вопросов «верно-неверно»

there are lots of possible ways to write down different combinations

существует множество возможных комбинаций

of Ts and Fs. To understand how many different combinations,

из «верно» и «неверно». Чтобы понять, сколько их может быть,

let's think about a much smaller true/ false quiz

сосчитаем их на меньшем числе вопросов «верно-неверно».

with only two questions. You could answer

Возьмём два вопроса. Получим комбинации ответов:

"true true," or "false false," or one of each.

«верно-верно», «неверно-неверно» или одно из двух.

First "false" then "true," or first "true" then "false."

Вначале «неверно», затем «верно», или вначале «верно», затем «неверно».

So that's four different ways to write the answers for a two-question quiz.

Получилось четыре различных комбинации ответов для теста из двух вопросов.

What about a 10-question quiz?

Так как насчёт теста из 10 вопросов?

Well, this time, there are too many to count and list by hand.

Что ж, в этом случае считать вручную будет тяжело.

In order to answer this question, we need to know the fundamental counting principle.

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно знать основной принцип подсчёта.

The fundamental counting principle states

Основной принцип подсчёта гласит,

that if there are A possible outcomes for one event,

что если для одного показателя существует А вариантов

and B possible outcomes for another event,

и В вариантов — для другого показателя,

then there are A times B ways to pair the outcomes.

то А, умноженное на В, будет означать число комбинаций для двух показателей.

Clearly this works for a two-question true/ false quiz.

Это легко понять на тесте из двух вопросов «верно-неверно».

There are two different answers you could write for the first question,

Существуют два возможных ответа на первый вопрос

and two different answers you could write for the second question.

и два возможных ответа на второй вопрос.

That makes 2 times 2, or, 4 different ways to write the answers for a two-question quiz.

Получаем 2 умножить на 2, то есть число комбинаций для теста будет равно 4.

Now let's consider the 10-question quiz.

А теперь возьмём тест на 10 вопросов.

To do this, we just need to extend the fundamental counting principle a bit.

Чтобы решить, нам надо немного расширить основной принцип подсчёта.

We need to realize that there are two possible answers for each of the 10 questions.

Необходимо понимать, что есть два возможных ответа на каждый из 10 вопросов.

So the number of possible outcomes is

То есть число комбинаций будет:

2, times 2, times 2, times 2, times 2, times 2,

2 на 2, на 2, на 2, на 2, на 2,

times 2, times 2, times 2, times 2.

на 2, на 2, на 2, на 2.

Or, a shorter way to say that is 2 to the 10th power,

Или, проще, 2 в 10-й степени,

which is equal to 1,024.

что равняется 1024.

That means of all the ways you could write down your Ts and Fs,

Это означает, что так или иначе можно написать «верно» или «неверно»

only one of the 1,024 ways would match the teacher's answer key perfectly.

в 1 случае из 1024, и ваши ответы совпадут с ключами к тесту у учителя.

So the probability of you getting a perfect score by guessing

То есть вероятность получить отличную оценку, ответив наугад,

is only 1 out of 1,024,

составляет 1 к 1024,

or about a 10th of a percent.

или 0,1 процента.

Clearly, guessing isn't a good idea.

Да, отвечать наугад не самая лучшая идея.

In fact, what would be the most common score

А какой же будет средняя оценка,

if you and all your friends were to always randomly guess

если и вы и ваши друзья ответите наугад

at every question on a 10-question true/ false quiz?

на каждый вопрос «верно-неверно» в тесте из 10 вопросов?

Well, not everyone would get exactly 5 out of 10.

Скорее всего, не каждый наберёт даже 5 из 10.

But the average score, in the long run,

Но средний счёт, в перспективе,

would be 5.

всё же составит 5.

In a situation like this, there are two possible outcomes:

В рассмотренных примерах вариантов ответа только два:

a question is right or wrong,

либо «верно», либо «неверно»,

and the probability of being right by guessing

а вероятность правильно угадать ответ

is always the same: 1/2.

всегда постоянна — 1/2.

To find the average number you would get right by guessing,

Чтобы подсчитать средний балл, который можно заработать наудачу,

you multiply the number of questions

просто умножьте число вопросов

by the probability of getting the question right.

на вероятность угадать правильный ответ.

Here, that is 10 times 1/2, or 5.

Получится 10 раз по 1/2, или 5.

Hopefully you study for quizzes,

Надеюсь, вы будете готовиться к контрольным,

since it clearly doesn't pay to guess.

потому что из гадания ничего не выйдет.

But at one point, you probably took a standardized test like the SAT,

Но когда-нибудь вам предстоит сдавать стандартный тест вроде SAT,

and most people have to guess on a few questions.

и большинству придётся на некоторые вопросы отвечать наугад.

If there are 20 questions and five possible answers

Если там 20 вопросов и 5 вариантов ответа

for each question, what is the probability you would get all 20 right

на каждый вопрос, какова вероятность, что вы верно ответите на все 20 вопросов,

by randomly guessing?

отвечая везде наугад?

And what should you expect your score to be?

И сколько вы наберёте баллов за тест?

Let's use the ideas from before.

Давайте вспомним, о чём шла речь.

First, since the probability of getting a question right by guessing is 1/5,

Во-первых, вероятность угадать ответ будет 1 к 5,

we would expect to get 1/5 of the 20 questions right.

то есть мы угадаем верный ответ на пятую часть из 20 вопросов.

Yikes - that's only four questions!

Ой-вей, а это только четыре вопроса!

Are you thinking that the probability of getting all 20 questions correct is pretty small?

Вы полагаете, что вероятность правильно ответить на 20 вопросов ничтожно мала?

Let's find out just how small.

Давайте определим, насколько она мала.

Do you recall the fundamental counting principle that was stated before?

Вспоминаете основной принцип подсчёта, о котором мы говорили?

With five possible outcomes for each question,

Для пяти вариантов ответа на каждый вопрос

we would multiply 5 times 5 times 5 times 5 times...

нам нужно 5 умножить на 5, на 5, на 5...

Well, we would just use 5 as a factor

Давайте возьмём 5, умножим его 20 раз,

20 times, and 5 to the 20th power

то есть 5 в 20-й степени, получится

is 95 trillion, 365 billion, 431 million,

95 триллионов 365 миллиардов 431 миллион

648 thousand, 625. Wow - that's huge!

648 тысяч 625. Ух ты — огромное число!

So the probability of getting all questions correct by randomly guessing

Таким образом, вероятность правильно ответить наугад на все вопросы

is about 1 in 95 trillion.

составляет где-то 1 к 95 триллионам.