What happens if you guess - Leigh Nataro

תרגום: Yifat Adler עריכה: Ido Dekkers

Probability is an area of mathematics that is everywhere.

הסתברות היא ענף של מתמטיקה שפוגשים בכל מקום.

We hear about it in weather forecasts,

שומעים עליו בתחזיות מזג האוויר,

like there's an 80% chance of snow tomorrow.

כמו למשל: "יש סיכוי של 80% שירד מחר שלג".

It's used in making predictions in sports,

משתמשים בו בתחזיות ספורט,

such as determining the odds for who will win the Super Bowl.

כמו למשל בקביעת סיכויי הניצחון של משתתפות הסופרבול.

Probability is also used in helping to set auto insurance rates

הסתברות משמשת גם לקביעת תעריפי ביטוח הרכב

and it's what keeps casinos and lotteries in business.

והיא זו שמאפשרת לבתי קזינו ולמפעל הפיס לגרוף רווחים.

How can probability affect you?

כיצד ההסתברות יכולה להשפיע עליכם?

Let's look at a simple probability problem.

נבחן בעיה פשוטה בהסתברות.

Does it pay to randomly guess on all 10 questions

האם משתלם לנחש באקראי את כל 10 התשובות

on a true/ false quiz?

במבחן אמת/שקר?

In other words, if you were to toss a fair coin

במילים אחרות, אם הייתם מטילים מטבע הוגן

10 times, and use it to choose the answers,

10 פעמים, ומשתמשים בו כדי לבחור את התשובות,

what is the probability you would get a perfect score?

מה ההסתברות שתקבלו ציון מושלם?

It seems simple enough. There are only two possible outcomes for each question.

זה נראה פשוט למדי. יש רק שתי תוצאות אפשריות לכל שאלה.

But with a 10-question true/ false quiz,

אבל במבחן אמת/שקר עם 10 שאלות,

there are lots of possible ways to write down different combinations

יש המון אפשרויות לכתוב צירופים שונים של "אמת" ו"שקר".

of Ts and Fs. To understand how many different combinations,

כדי להבין כמה צירופים שונים אפשריים,

let's think about a much smaller true/ false quiz

ננסה לחשוב על מבחן אמת/שקר הרבה יותר קטן

with only two questions. You could answer

עם שתי שאלות בלבד.

"true true," or "false false," or one of each.

תוכלו לענות "אמת אמת" או "שקר שקר"

First "false" then "true," or first "true" then "false."

או "שקר אמת" או "אמת שקר".

So that's four different ways to write the answers for a two-question quiz.

כלומר יש 4 דרכים שונות לכתוב תשובות למבחן אמת/שקר עם 2 שאלות.

What about a 10-question quiz?

ומה לגבי מבחן עם 10 שאלות?

Well, this time, there are too many to count and list by hand.

במקרה זה האפשרויות רבות ויהיה קשה להכין רשימה שלהן.

In order to answer this question, we need to know the fundamental counting principle.

כדי לענות על השאלה, עלינו להכיר את עקרון הכפל.

The fundamental counting principle states

עקרון הכפל אומר

that if there are A possible outcomes for one event,

שאם יש A תוצאות אפשריות למאורע אחד,

and B possible outcomes for another event,

ו-B תוצאות אפשריות למאורע נוסף,

then there are A times B ways to pair the outcomes.

אז ישנם A כפול B זוגות אפשריים של תוצאות.

Clearly this works for a two-question true/ false quiz.

בדוגמא של מבחן עם 2 שאלות של אמת/שקר,

There are two different answers you could write for the first question,

יש 2 תשובות אפשריות לשאלה הראשונה

and two different answers you could write for the second question.

ו-2 תשובות אפשריות לשאלה השניה.

That makes 2 times 2, or, 4 different ways to write the answers for a two-question quiz.

קיבלנו 2 כפול 2, או 4 דרכים לכתוב תשובות למבחן עם 2 שאלות.

Now let's consider the 10-question quiz.

נבדוק עכשיו מה קורה במבחן עם 10 שאלות.

To do this, we just need to extend the fundamental counting principle a bit.

כדי לעשות זאת, נצטרך להרחיב את עקרון הכפל.

We need to realize that there are two possible answers for each of the 10 questions.

לכל אחת מ-10 השאלות יש 2 תשובות אפשריות.

So the number of possible outcomes is

ולכן מספר צירופי התשובות האפשריות הוא

2, times 2, times 2, times 2, times 2, times 2,

2 כפול 2 כפול 2 כפול 2 כפול 2 כפול 2 כפול 2

times 2, times 2, times 2, times 2.

כפול 2 כפול 2 כפול 2 כפול 2.

Or, a shorter way to say that is 2 to the 10th power,

או בקיצור 2 בחזקת 10,

which is equal to 1,024.

שהם 1,024.

That means of all the ways you could write down your Ts and Fs,

כלומר, מבין כל האפשרויות לכתוב "אמת" ו"שקר",

only one of the 1,024 ways would match the teacher's answer key perfectly.

רק אפשרות אחת מתוך 1,024 תתאים למפתח הבדיקה של המורה.

So the probability of you getting a perfect score by guessing

כלומר, ההסתברות לקבל ציון מושלם באמצעות ניחושים

is only 1 out of 1,024,

היא רק 1 מתוך 1,024,

or about a 10th of a percent.

או כעשירית האחוז.

Clearly, guessing isn't a good idea.

כלומר, ניחושים הם בבירור לא רעיון כל כך מוצלח.

In fact, what would be the most common score

למעשה, מה יהיה הציון הרווח

if you and all your friends were to always randomly guess

אם אתם וכל חבריכם הייתם מנחשים תמיד בצורה אקראית

at every question on a 10-question true/ false quiz?

את כל התשובות במבחן עם 10 שאלות אמת/שקר?

Well, not everyone would get exactly 5 out of 10.

לא כולם יקבלו בדיוק 5 מתוך 10.

But the average score, in the long run,

אבל הציון הממוצע, בטווח הארוך,

would be 5.

יהיה 5.

In a situation like this, there are two possible outcomes:

במצב כזה, יש 2 תוצאות אפשריות:

a question is right or wrong,

תשובה נכונה או לא נכונה,

and the probability of being right by guessing

וההסתברות שהניחוש יהיה נכון

is always the same: 1/2.

הוא תמיד זהה: חצי.

To find the average number you would get right by guessing,

כדי למצוא את הציון הממוצע שיתקבל באמצעות ניחושים

you multiply the number of questions

מכפילים את מספר השאלות

by the probability of getting the question right.

בהסתברות לקבל תשובה נכונה.

Here, that is 10 times 1/2, or 5.

וכאן נקבל 10 כפול חצי, או 5.

Hopefully you study for quizzes,

אני מקווה שאתם מתכוננים למבחנים שלכם,

since it clearly doesn't pay to guess.

מכיוון שברור שלא משתלם לנחש.

But at one point, you probably took a standardized test like the SAT,

אבל קרוב לוודאי שמתישהו נבחנתם במבחן ארצי כמו SAT,

and most people have to guess on a few questions.

בו רוב האנשים צריכים לנחש כמה תשובות.

If there are 20 questions and five possible answers

אם ישנם 20 שאלות ו-5 תשובות אפשריות לכל שאלה,

for each question, what is the probability you would get all 20 right

מה ההסתברות לענות נכון על כל 20 השאלות

by randomly guessing?

ע"י ניחוש אקראי?

And what should you expect your score to be?

ואיזה ציון תצפו לקבל?

Let's use the ideas from before.

נשתמש ברעיונות הקודמים שלנו.

First, since the probability of getting a question right by guessing is 1/5,

מכיוון שההסתברות לתשובה נכונה היא חמישית,

we would expect to get 1/5 of the 20 questions right.

נצפה שחמישית מהתשובות יהיו נכונות.

Yikes - that's only four questions!

אוי - אלה רק 4 תשובות!

Are you thinking that the probability of getting all 20 questions correct is pretty small?

האם אתם חושבים שההסתברות לקבל 20 תשובות נכונות היא קטנה?

Let's find out just how small.

נבדוק כמה היא קטנה.

Do you recall the fundamental counting principle that was stated before?

זוכרים את עקרון הכפל?

With five possible outcomes for each question,

כשיש לנו 5 תוצאות אפשריות לכל שאלה,

we would multiply 5 times 5 times 5 times 5 times...

נכפיל 5 כפול 5 כפול 5 כפול...

Well, we would just use 5 as a factor

נכפיל 5 20 פעמים

20 times, and 5 to the 20th power

ונקבל 5 בחזקת 20

is 95 trillion, 365 billion, 431 million,

שהם 95 טריליון, 365 מיליארד, 431 מיליון,

648 thousand, 625. Wow - that's huge!

648 אלף, 625. וואו - זה מספר ענק!

So the probability of getting all questions correct by randomly guessing

וההסתברות שכל התשובות יהיו נכונות ע"י ניחוש אקראי

היא כ-1 ל-95 טריליון.

is about 1 in 95 trillion.