What happens if you guess - Leigh Nataro

あて推量したらどうなる？ — リー・ネイタロ

翻訳: Tomoshige Ohno 校正: Masaki Yanagishita

Probability is an area of mathematics that is everywhere.

確率はどこにでもある数学の分野です

We hear about it in weather forecasts,

明日雪が降る確率は80%などというように

like there's an 80% chance of snow tomorrow.

天気予報で耳にします

It's used in making predictions in sports,

スーパーボウルの勝者のオッズを決めるように

such as determining the odds for who will win the Super Bowl.

スポーツの予想をするのにも使われます

Probability is also used in helping to set auto insurance rates

確率は自動車保険料率の設定などにも使われており

and it's what keeps casinos and lotteries in business.

確率によりカジノや宝くじは ビジネスとして成立するのです

How can probability affect you?

確率はどのような影響を及ぼすのでしょう？

Let's look at a simple probability problem.

簡単な確率の問題に注目してみましょう

Does it pay to randomly guess on all 10 questions

10問の正誤問題にランダムに解答するのは

on a true/ false quiz?

割に合うのでしょうか？

In other words, if you were to toss a fair coin

言い換えると 公正なコインで10回コイントスをして

10 times, and use it to choose the answers,

答えを決めるとしたら

what is the probability you would get a perfect score?

満点を取る確率はいくらでしょう？

It seems simple enough. There are only two possible outcomes for each question.

とても単純なように思えます それぞれの問題には２つしか選択肢がないのですから

But with a 10-question true/ false quiz,

しかし正誤問題が10問あると

there are lots of possible ways to write down different combinations

真と偽の異なる組合せはたくさん存在します

of Ts and Fs. To understand how many different combinations,

異なる組合せがどれだけあるか理解するために

let's think about a much smaller true/ false quiz

２問だけの正誤問題を例として考えてみましょう

with only two questions. You could answer

「真と真」「偽と偽」

"true true," or "false false," or one of each.

または真と偽を１つずつ使う

First "false" then "true," or first "true" then "false."

「偽と真」「真と偽」が考えられます

So that's four different ways to write the answers for a two-question quiz.

２問の問題に対して４通りの答え方があるのです

What about a 10-question quiz?

10問ではどうでしょう？

Well, this time, there are too many to count and list by hand.

今度は手で数え上げるには多過ぎます

In order to answer this question, we need to know the fundamental counting principle.

この問題に答えるためには 積の法則を知る必要があります

The fundamental counting principle states

この法則によると

that if there are A possible outcomes for one event,

ある事象に対してA個の場合が起こり得て

and B possible outcomes for another event,

別の事象に対してB個の場合が起こり得るとすると

then there are A times B ways to pair the outcomes.

場合の数はA×B通りになります

Clearly this works for a two-question true/ false quiz.

これは明らかに２問の正誤問題にも当てはまります

There are two different answers you could write for the first question,

１問目には２つの異なる答えがあり

and two different answers you could write for the second question.

２問目にも２つの異なる答えがあるので

That makes 2 times 2, or, 4 different ways to write the answers for a two-question quiz.

２問の正誤問題には2×2 つまり４通りの答え方があるのです

Now let's consider the 10-question quiz.

では10問の場合について考えてみましょう

To do this, we just need to extend the fundamental counting principle a bit.

そのために 積の法則を少し拡張する必要があります

We need to realize that there are two possible answers for each of the 10 questions.

10問の問題それぞれに対して ２通りの答え方が存在するので

So the number of possible outcomes is

可能な答え方の組合せは

2, times 2, times 2, times 2, times 2, times 2,

2×2×2×2×2×2

times 2, times 2, times 2, times 2.

×2×2×2×2通り

Or, a shorter way to say that is 2 to the 10th power,

つまり 簡潔に言うと２の10乗通り存在し

which is equal to 1,024.

1024通りということになります

That means of all the ways you could write down your Ts and Fs,

つまり 正と誤の考えられる全ての組合せのうち

only one of the 1,024 ways would match the teacher's answer key perfectly.

1024通りの中のたった1通りしか 先生の答えと完全に一致しないのです

So the probability of you getting a perfect score by guessing

このように あて推量により満点を取る確率は

is only 1 out of 1,024,

たった1024分の1

or about a 10th of a percent.

およそ 1%の10分の1です

Clearly, guessing isn't a good idea.

明らかに あて推量は良いアイデアではありません

In fact, what would be the most common score

実際 全員が10問の正誤問題で

if you and all your friends were to always randomly guess

全ての問いをランダムに推測したとすると

at every question on a 10-question true/ false quiz?

何点が最頻となるでしょう？

Well, not everyone would get exactly 5 out of 10.

全員が10問中5問に正解するわけではありません

But the average score, in the long run,

しかし長い目で見ると平均点は

would be 5.

５点となるでしょう

In a situation like this, there are two possible outcomes:

このような状況下では ２通りの結末が考えられ

a question is right or wrong,

各問は正解か不正解なので

and the probability of being right by guessing

あて推量により正解する確率は

is always the same: 1/2.

常に等しく ２分の１です

To find the average number you would get right by guessing,

あて推量することによる平均正答数を求めるには

you multiply the number of questions

問題数に

by the probability of getting the question right.

正答確率を掛けます

Here, that is 10 times 1/2, or 5.

ここでは 10×1/2 つまり5問です

Hopefully you study for quizzes,

あて推量は明らかに割に合わないので

since it clearly doesn't pay to guess.

できることなら 試験に備えて勉強してください

But at one point, you probably took a standardized test like the SAT,

しかし SATのような標準試験を 受けたことがあるかと思いますが

and most people have to guess on a few questions.

ほとんどの人は何問かは当て推量しなければ ならなかったことでしょう

If there are 20 questions and five possible answers

20個の問題があり 各問に５つの選択肢があったら

for each question, what is the probability you would get all 20 right

ランダムな推測により 20問全てを正答する確率は

by randomly guessing?

どれだけでしょう？

And what should you expect your score to be?

また スコアの期待値はどれだけになるでしょう？

Let's use the ideas from before.

先ほどのアイデアを使ってみましょう

First, since the probability of getting a question right by guessing is 1/5,

１つの問いをあて推量から正答する確率は1/5なので

we would expect to get 1/5 of the 20 questions right.

20問のうち1/5を正答することが期待できます

Yikes - that's only four questions!

ひどい たったの４問じゃありませんか！

Are you thinking that the probability of getting all 20 questions correct is pretty small?

20問を全問正解する確率は 極めて小さいとお考えですか？

Let's find out just how small.

どのくらい小さいのか調べてみましょう

Do you recall the fundamental counting principle that was stated before?

先に述べられた積の法則を覚えていますか？

With five possible outcomes for each question,

各問に５つの選択肢があるので

we would multiply 5 times 5 times 5 times 5 times...

5×5×5×5× …

Well, we would just use 5 as a factor

5を20回掛け合わせるのですが

20 times, and 5 to the 20th power

5の20乗は

is 95 trillion, 365 billion, 431 million,

95兆3654億3164万8625です

648 thousand, 625. Wow - that's huge!

とても大きな数です！

So the probability of getting all questions correct by randomly guessing

このことからランダムな推測で全問正解する確率は

is about 1 in 95 trillion.

約95兆分の1となることが分かります