How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei

المترجم: Obada Al hamdan المدقّق: Riyad Altayeb

"المنطق خالد، وكل ما عداه فانٍ" فيثاغورث

What do Euclid,

ماذا يملك إقليدس

twelve-year-old Einstein,

وأينشتاين ذي 12 عامًا

and American President James Garfield have in common?

والرئيس الأمريكي جيمس جارفيلد كشيءٍ مشترك؟

They all came up with elegant proofs for the famous Pythagorean theorem,

لقد أتوا جميعًا ببراهين أنيقة لنظرية فيثاغورث الشهيرة،

the rule that says for a right triangle,

القاعدة التي تنص على أنه في المثلث القائم،

the square of one side plus the square of the other side

مربع طول الضلع الأول مضافًا لمربع طول الضلع الثاني

is equal to the square of the hypotenuse.

يساوي مربع طول الوتر.

In other words, a²+b²=c².

وبكلمات أخرى a²+b²=c²

This statement is one of the most fundamental rules of geometry,

هذا النص هو أحد أهم القواعد الأساسية في علم الهندسة،

and the basis for practical applications,

وأساس للعديد من التطبيقات العملية،

like constructing stable buildings and triangulating GPS coordinates.

كتشييد المباني الثابتة والتقسيم المثلثي لإحداثيات الـGPS.

The theorem is named for Pythagoras,

سميت النظرية نسبة لفيثاغورث.

a Greek philosopher and mathematician in the 6th century B.C.,

فيلسوف يوناني وعالم رياضيات في القرن السادس قبل الميلاد،

but it was known more than a thousand years earlier.

ولكنها عُرفت قبل ذلك بأكثر من ألف سنة.

A Babylonian tablet from around 1800 B.C. lists 15 sets of numbers

يحتوي لوح بابلي يعود إلى 1800 قبل الميلاد قائمة من 15 مجموعة من الأعداد

that satisfy the theorem.

التي تفي بنص النظرية.

Some historians speculate that Ancient Egyptian surveyors

بعض المؤرخين يخمنون أن المسّاحين المصريين القدماء

used one such set of numbers, 3, 4, 5, to make square corners.

استعملوا إحدى مجموعات الأعداد 3، 4، 5 لصنع زوايا مربعة.

The theory is that surveyors could stretch a knotted rope with twelve equal segments

تقول النظرية أن المسّاحين تمكنوا من مدّ حبل معقود لـ 12 قطعة متساوية

to form a triangle with sides of length 3, 4 and 5.

ليشكلوا مثلثًا بأضلاع طولها 3 و4 و5.

According to the converse of the Pythagorean theorem,

وحسب معكوس نظرية فيثاغورث،

that has to make a right triangle,

لا بد لذلك أن يشكل مثلثًا قائمًا،

and, therefore, a square corner.

وهذا يعني زاوية مربعة.

And the earliest known Indian mathematical texts

والنصوص الهندية الرياضة الأقدم المعروفة

written between 800 and 600 B.C.

المكتوبة بين 800 و 600 قبل الميلاد

state that a rope stretched across the diagonal of a square

تنص على أن حبلًا يمتد عبر قطر مربع

produces a square twice as large as the original one.

يشكل مربعًا يبلغ ضِعف المربع الأصلي.

That relationship can be derived from the Pythagorean theorem.

يمكن لهذه العلاقة أن تُستنتج عبر نظرية فيثاغورث.

But how do we know that the theorem is true

لكن كيف لنا أن نعرف بأن النظرية صحيحة

for every right triangle on a flat surface,

لكل المثلثات القائمة على سطح مستوٍ،

not just the ones these mathematicians and surveyors knew about?

وليس في المثلثات التي عرفها الرياضيون والمسّاحون فقط؟

Because we can prove it.

لأن بإمكاننا إثبات ذلك.

Proofs use existing mathematical rules and logic

براهين تستخدم القواعد الرياضية الموجودة والمنطق

to demonstrate that a theorem must hold true all the time.

حتى تبين أن النظرية تصح في جميع الحالات.

One classic proof often attributed to Pythagoras himself

أحد البراهين التقليدية الذي يُنسب غالبًا إلى فيثاغورث نفسه

uses a strategy called proof by rearrangement.

يستخدم استراتيجية تدعى البرهان بإعادة الترتيب.

Take four identical right triangles with side lengths a and b

خذ أربعة مثلثات قائمة بأطوال أضلاع a و b

and hypotenuse length c.

ووتر بطول يبلغ c.

رتبها بحيث تشكل أوتارها مربعًا مائلاً.

Arrange them so that their hypotenuses form a tilted square.

مساحة هذا المربع هي c².

The area of that square is c².

Now rearrange the triangles into two rectangles,

الآن، أعد ترتيب المثلثات في مستطيلين،

تاركًا مربعين أصغر على الجانبين.

leaving smaller squares on either side.

The areas of those squares are a² and b².

مساحتا هذان المربعان هما a² وb².

Here's the key.

هنا مفتاح الحل.

The total area of the figure didn't change,

لم تتغيرالمساحة الكلية للشكل،

and the areas of the triangles didn't change.

ولم تتغير مساحات المثلثات.

وعلى هذا فإن المساحة الخالية في الأول، c²

So the empty space in one, c²

must be equal to the empty space in the other,

لابد أن تساوي المساحات الخالية الأخرى،

a² + b².

a² + b².

Another proof comes from a fellow Greek mathematician Euclid

يأتي برهان آخر من عالم رياضيات إغريقي زميل، إقليدس

and was also stumbled upon almost 2,000 years later

قد عثر عليه أيضًا بعد حوالي 2000 سنة

by twelve-year-old Einstein.

أينشتاين ذي الإثني عشر عامًا.

هذا البرهان يقسم مثلثًا قائمًا إلى اثنين آخرين

This proof divides one right triangle into two others

and uses the principle that if the corresponding angles of two triangles

ويستخدم القانون القائل بأنه إذا تساوت الزوايا المتناظرة في مثلثين،

are the same,

فإن نسبة أطوال أضلاعها متساوية أيضًا.

the ratio of their sides is the same, too.

أي في هذه المثلثات الثلاثة المتشابهة،

So for these three similar triangles,

you can write these expressions for their sides.

يمكنك التعبير عن أطوال أضلاعها هكذا.

Next, rearrange the terms.

ومن ثم، أعد ترتيب الحدود.

And finally, add the two equations together and simplify to get

وفي النهاية، اجمع المعادلتين معًا وبسّط الناتج لتحصل على

ab²+ac²=bc²,

ab²+ac²=bc²,

or a²+b²=c².

أو a²+b²=c².

Here's one that uses tessellation,

هذا برهان يستخدم التكرار الفسيفسائي،

نمط هندسي متكرر لأجل برهان مرئي أكثر

a repeating geometric pattern for a more visual proof.

Can you see how it works?

هل ترى كيف يتم ذلك؟

Pause the video if you'd like some time to think about it.

أوقف الفيديو إذا أردت المزيد من الوقت لتفكر بالأمر.

ها هو الجواب.

Here's the answer.

The dark gray square is a²

المربع الرمادي الغامق هو a²

and the light gray one is b².

والرمادي الفاتح هو b².

The one outlined in blue is c².

الآخر المحاط بالأزرق هو c².

Each blue outlined square contains the pieces of exactly one dark

كل مربع أزرق يحوي بالضبط قطع مربع رمادي غامق

and one light gray square,

ومربع آخر فاتح اللون،

proving the Pythagorean theorem again.

مثبتًا بذلك نظرية فيثاغورث مجددًا.

And if you'd really like to convince yourself,

وإذا أردت أن تقنع نفسك تمامًا،

you could build a turntable with three square boxes of equal depth

بإمكانك صنع طاولة دوارة بثلاثة صناديق مربعة متساوية العمق

connected to each other around a right triangle.

متصلة ببعضها حول مثلث قائم.

لو ملأت المربع الأكبر بالماء ثم أدرت الطاولة،

If you fill the largest square with water and spin the turntable,

the water from the large square will perfectly fill the two smaller ones.

سيملأ الماء من المربع الكبير المربعين الأصغر تمامًا.

The Pythagorean theorem has more than 350 proofs, and counting,

لدى نظرية فيثاغورث أكثر من 350 برهانًا، وبازدياد

ranging from brilliant to obscure.

متراوحة بين اللامع والغامض.

Can you add your own to the mix?

هل بإمكانك أن تضيف برهانك الخاص إلى المجموعة؟

هل استمتعت بهذا الدرس؟

إن كنت قد استمتعت ففكر بدعم مشروعنا اللاربحي

عبر زيارة